Resposta
[tex3]x = 3\cos 40°[/tex3]
Ensino Médio ⇒ Polinômio - Geometria espacial
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Matheusrpb 
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Ago 2019
31
20:22
Polinômio - Geometria espacial
Um cubo de aresta 2x excede em 27 unidades o volume de um paralelepípedo retângulo de área da base 54 e altura h. Qual é o valor de x ?
[tex3]x = 3\cos 40°[/tex3]
[tex3]x = 3\cos 40°[/tex3]
Por que você me deixa tão solto ? E se eu me interessar por alguém ?
-
snooplammer - Mensagens: 1701
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Jan 2020
21
00:49
Re: Polinômio - Geometria espacial
Tem inconsistência no enunciado e no gabarito. O paralelepípedo tem altura x.
Corrigido isso, temos que
[tex3]8x^3=27+54x[/tex3]
[tex3]8x^3-54x-27=0[/tex3]
Na construção do grafico, teremos algo parecido com isso
É fácil visualizar que teremos duas raízes pares na parte negativa do domínio quando constrói-se o gráfico, através da derivada para achar o máximo e o mínimo. Agora vamos ver até onde as raízes estão limitadas
[tex3]p(0)<0[/tex3]
[tex3]p(-1)>0[/tex3]
[tex3]p(1)<0[/tex3]
[tex3]p(2)<0[/tex3]
[tex3]p(-2)>0[/tex3]
[tex3]p(3)>0[/tex3]
[tex3]p(-3)<0[/tex3]
[tex3]p(-3)p(3)<0[/tex3] , número ímpar de raízes
[tex3]p(-3)p(0)>0[/tex3] , número par de raízes, no caso são duas raizes
Logo,-3 é um limite inferior.
[tex3]p(0)p(3)<0[/tex3] , número ímpar de raízes, uma raiz.
Logo, 3 é um limite superior.
Então, [tex3]-3 < x < 3[/tex3]
[tex3]-1 < \frac{x}{3} < 1[/tex3]
[tex3]\frac{x}{3}=\cos \varphi[/tex3]
[tex3]x=3\cos \varphi[/tex3]
[tex3]8\cdot 3^3 \cos^3\varphi -54\cdot 3\cos \varphi -27=0[/tex3]
[tex3]8\cos^3 \varphi-6\cos \varphi -1=0[/tex3]
[tex3]2(\underbrace{4\cos^3\varphi-3\cos\varphi}_{= \cos 3\varphi})=1[/tex3]
[tex3]2\cos 3\varphi=1 \rightarrow \cos 3\varphi = \frac{1}{2}[/tex3]
[tex3]3\varphi=60^\circ+2k\cdot 180^\circ[/tex3] ou [tex3]3\varphi=300^\circ+2k\cdot 180^\circ[/tex3]
O menor valor para [tex3]\varphi [/tex3] é [tex3]20^\circ[/tex3]
Logo, [tex3]x=3\cos\varphi[/tex3] , [tex3]\varphi = 20^\circ[/tex3] é solução.
Corrigido isso, temos que
[tex3]8x^3=27+54x[/tex3]
[tex3]8x^3-54x-27=0[/tex3]
Na construção do grafico, teremos algo parecido com isso
- screenshot.png (6.43 KiB) Exibido 1867 vezes
[tex3]p(0)<0[/tex3]
[tex3]p(-1)>0[/tex3]
[tex3]p(1)<0[/tex3]
[tex3]p(2)<0[/tex3]
[tex3]p(-2)>0[/tex3]
[tex3]p(3)>0[/tex3]
[tex3]p(-3)<0[/tex3]
[tex3]p(-3)p(3)<0[/tex3] , número ímpar de raízes
[tex3]p(-3)p(0)>0[/tex3] , número par de raízes, no caso são duas raizes
Logo,-3 é um limite inferior.
[tex3]p(0)p(3)<0[/tex3] , número ímpar de raízes, uma raiz.
Logo, 3 é um limite superior.
Então, [tex3]-3 < x < 3[/tex3]
[tex3]-1 < \frac{x}{3} < 1[/tex3]
[tex3]\frac{x}{3}=\cos \varphi[/tex3]
[tex3]x=3\cos \varphi[/tex3]
[tex3]8\cdot 3^3 \cos^3\varphi -54\cdot 3\cos \varphi -27=0[/tex3]
[tex3]8\cos^3 \varphi-6\cos \varphi -1=0[/tex3]
[tex3]2(\underbrace{4\cos^3\varphi-3\cos\varphi}_{= \cos 3\varphi})=1[/tex3]
[tex3]2\cos 3\varphi=1 \rightarrow \cos 3\varphi = \frac{1}{2}[/tex3]
[tex3]3\varphi=60^\circ+2k\cdot 180^\circ[/tex3] ou [tex3]3\varphi=300^\circ+2k\cdot 180^\circ[/tex3]
O menor valor para [tex3]\varphi [/tex3] é [tex3]20^\circ[/tex3]
Logo, [tex3]x=3\cos\varphi[/tex3] , [tex3]\varphi = 20^\circ[/tex3] é solução.
Última edição: snooplammer (Ter 21 Jan, 2020 00:55). Total de 1 vez.
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