Ensino Médio ⇒ Geometria Plana - Triângulo Tópico resolvido

[LanaBrasil]

Boa noite.
Poderiam me ajudar com essa questão, por favor?
Não consegui resolver.

Seja ABC um triângulo isósceles de base BC=10 e perímetro igual a 36 cm e seja N o ponto médio do lado AC. Podemos afirmar que o valor da mediana BN, do triângulo ABC, é igual a:
Gabarito: 3 [tex3]\sqrt{41}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\sqrt{41}[/tex3]

/2
Obrigada.

[Cardoso1979]

Observe

Uma solução ( por geometria analítica ) :

Vamos determinar o ponto médio M, temos

[tex3]M\left(\frac{10+0}{2};\frac{0+0}{2}\right)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]M\left(\frac{10+0}{2};\frac{0+0}{2}\right)[/tex3]

Logo,

M( 5 ; 0 )

Calculando a altura do triângulo isósceles, ou seja , vamos aplicar o Teorema de Pitágoras no triângulo retângulo ABM, fica;

13² = h² + 5²

h² = 169 - 25

h = √144

h = 12cm

Logo, o ponto A é ( 5 , 12 ).


Por outro lado, como N é ponto médio do lado AC, vem;

[tex3]N\left(\frac{10+5}{2};\frac{0+12}{2}\right)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]N\left(\frac{10+5}{2};\frac{0+12}{2}\right)[/tex3]

[tex3]N\left(\frac{15}{2};\frac{12}{2}\right)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]N\left(\frac{15}{2};\frac{12}{2}\right)[/tex3]

Resulta,

[tex3]N\left(\frac{15}{2};6\right)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]N\left(\frac{15}{2};6\right)[/tex3]

Graficamente:

15673653330667008242697732742238.jpg (15.33 KiB) Exibido 1007 vezes

Basta agora, calcular a distância entre os pontos B( 0 , 0 ) e N( 15/2 , 6 ) , temos que

[tex3]d_{B,N}=\sqrt{\left(\frac{15}{2}-0\right)^2+(6-0)^2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]d_{B,N}=\sqrt{\left(\frac{15}{2}-0\right)^2+(6-0)^2}[/tex3]

[tex3]d_{B,N}=\sqrt{\left(\frac{15}{2}\right)^2+(6)^2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]d_{B,N}=\sqrt{\left(\frac{15}{2}\right)^2+(6)^2}[/tex3]

[tex3]d_{B,N}=\sqrt{\frac{225}{4}+36}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]d_{B,N}=\sqrt{\frac{225}{4}+36}[/tex3]

[tex3]d_{B,N}=\sqrt{\frac{225+144}{4}}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]d_{B,N}=\sqrt{\frac{225+144}{4}}[/tex3]

[tex3]d_{B,N}=\sqrt{\frac{369}{4}}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]d_{B,N}=\sqrt{\frac{369}{4}}[/tex3]

[tex3]d_{B,N}=\frac{\sqrt{9.41}}{2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]d_{B,N}=\frac{\sqrt{9.41}}{2}[/tex3]

Logo,

[tex3]d_{B,N}=\frac{3\sqrt{41}}{2}cm[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]d_{B,N}=\frac{3\sqrt{41}}{2}cm[/tex3]

Portanto, o valor da mediana BN é [tex3]\frac{3\sqrt{41}}{2}cm[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{3\sqrt{41}}{2}cm[/tex3]

Bons estudos!

[LanaBrasil]

Muito Obrigada pela ajuda. Nem imaginei em resolver com Geometria Analítica.

Observe

Uma solução ( por geometria analítica ) :

Vamos determinar o ponto médio M, temos

[tex3]M\left(\frac{10+0}{2};\frac{0+0}{2}\right)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]M\left(\frac{10+0}{2};\frac{0+0}{2}\right)[/tex3]

Logo,

M( 5 ; 0 )

Calculando a altura do triângulo isósceles, ou seja , vamos aplicar o Teorema de Pitágoras no triângulo retângulo ABM, fica;

13² = h² + 5²

h² = 169 - 25

h = √144

h = 12cm

Logo, o ponto A é ( 5 , 12 ).


Por outro lado, como N é ponto médio do lado AC, vem;

[tex3]N\left(\frac{10+5}{2};\frac{0+12}{2}\right)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]N\left(\frac{10+5}{2};\frac{0+12}{2}\right)[/tex3]

[tex3]N\left(\frac{15}{2};\frac{12}{2}\right)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]N\left(\frac{15}{2};\frac{12}{2}\right)[/tex3]

Resulta,

[tex3]N\left(\frac{15}{2};6\right)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]N\left(\frac{15}{2};6\right)[/tex3]

Graficamente:

15673653330667008242697732742238.jpg


Basta agora, calcular a distância entre os pontos B( 0 , 0 ) e N( 15/2 , 6 ) , temos que

[tex3]d_{B,N}=\sqrt{\left(\frac{15}{2}-0\right)^2+(6-0)^2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]d_{B,N}=\sqrt{\left(\frac{15}{2}-0\right)^2+(6-0)^2}[/tex3]

[tex3]d_{B,N}=\sqrt{\left(\frac{15}{2}\right)^2+(6)^2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]d_{B,N}=\sqrt{\left(\frac{15}{2}\right)^2+(6)^2}[/tex3]

[tex3]d_{B,N}=\sqrt{\frac{225}{4}+36}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]d_{B,N}=\sqrt{\frac{225}{4}+36}[/tex3]

[tex3]d_{B,N}=\sqrt{\frac{225+144}{4}}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]d_{B,N}=\sqrt{\frac{225+144}{4}}[/tex3]

[tex3]d_{B,N}=\sqrt{\frac{369}{4}}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]d_{B,N}=\sqrt{\frac{369}{4}}[/tex3]

[tex3]d_{B,N}=\frac{\sqrt{9.41}}{2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]d_{B,N}=\frac{\sqrt{9.41}}{2}[/tex3]

Logo,

[tex3]d_{B,N}=\frac{3\sqrt{41}}{2}cm[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]d_{B,N}=\frac{3\sqrt{41}}{2}cm[/tex3]

Portanto, o valor da mediana BN é [tex3]\frac{3\sqrt{41}}{2}cm[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{3\sqrt{41}}{2}cm[/tex3]

Bons estudos!

[Cardoso1979]

Muito Obrigada pela ajuda. Nem imaginei em resolver com Geometria Analítica.

Disponha