Ensino MédioFunção e Transformação em Trigonometria Tópico resolvido

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Autor do Tópico
ocotoconinja
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Ago 2019 25 22:30

Função e Transformação em Trigonometria

Mensagem não lida por ocotoconinja »

Alguém me ajuda na resolução desta questão?:
Estude a variação da seguinte função real:
[tex3]h(x)=\left(\frac{\sen x + \cos x}{\cos x - \sen x }\right) [/tex3]

Gabarito:
Resposta

[tex3]D(h)= \big\{X\in \mathbb {R} | x\ne \frac{\pi}{4} + k\pi \big\} [/tex3]
[tex3]p(h)= \pi[/tex3]
[tex3]Im(h)=\mathbb{R}[/tex3]
Deis de já agradeço :)




mcarvalho
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Jul 2020 08 21:48

Re: Função e Transformação em Trigonometria

Mensagem não lida por mcarvalho »

Boa noite.

Tentei fazer o seguinte, que deu errado:

[tex3]h(x)=\frac{\sen x+\cos x}{\cos x-\sen x}=\frac{\sen x+\sen\(\frac{\pi}2-x\)}{\cos x-\cos \(\frac{\pi}2-x\)}[/tex3]

Usando Prostáferes:

[tex3]h(x)=\frac{2\cdot \sen \(\frac{x+\frac{\pi}2-x}{2}\)\cdot \cos \(\frac{x-\frac{\pi}2+x}{2}\)}{-2\cdot \sen \(\frac{x+\frac{\pi}2-x}{2}\)\cdot \cos \(\frac{x-\frac{\pi}2+x}{2}\)}=-1[/tex3]

Onde estou errando?



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AnthonyC
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Jul 2020 09 00:45

Re: Função e Transformação em Trigonometria

Mensagem não lida por AnthonyC »

  • Domínio:
Vamos verificar para quais valores de [tex3]x[/tex3] a função está definida. A unica restrição é que o denominador seja diferente de zero, então:
[tex3]\cos(x)-\sen(x)\neq0[/tex3]
[tex3]\cos(x)\neq\sen(x)[/tex3]
Podemos verificar que [tex3]\sen(x)=0[/tex3] e [tex3]\cos(x)=0[/tex3] não satisfazem a equação, dado que eles não se anulam nos mesmos valores de [tex3]x[/tex3] , então:
[tex3]\cos(x)\neq\sen(x)[/tex3]
[tex3]{\sen(x)\over\cos(x)}\neq1[/tex3]
[tex3]{\tan(x)}\neq1[/tex3]
[tex3]x\neq {\pi\over4}+k\pi[/tex3]

Ou seja:
[tex3]\text{D}(h)=\left\{x\in\mathbb{R}/x\neq {\pi\over4}+k\pi\right\}[/tex3]

mcarvalho escreveu:
Qua 08 Jul, 2020 21:48
Onde estou errando?
Embaixo, deveria ser "seno da semi-diferença vezes cosseno da semi-soma" e sem o menos:
[tex3]h(x)=\frac{2\cdot \sen \(\frac{x+\frac{\pi}2-x}{2}\)\cdot \cos \(\frac{x-\frac{\pi}2+x}{2}\)}{2\cdot \sen \(\frac{x-\frac{\pi}2+x}{2}\)\cdot \cos \(\frac{x+\frac{\pi}2-x}{2}\)}[/tex3]
[tex3]h(x)=\frac{ \sen \(\frac{\frac{\pi}2}{2}\)\cdot \cos \(\frac{2x-\frac{\pi}2}{2}\)} { \sen \(\frac{2x-\frac{\pi}2}{2}\)\cdot \cos \(\frac{\frac{\pi}2}{2}\)}[/tex3]
[tex3]h(x)=\frac{ \sen \(\frac{\pi}4\)\cdot \cos \(x-\frac{\pi}4\)} { \sen \(x-\frac{\pi}4\)\cdot \cos \(\frac{\pi}4\)}[/tex3]
[tex3]h(x)=\frac{ \cos \(x-\frac{\pi}4\)} { \sen \(x-\frac{\pi}4\)}[/tex3]
[tex3]h(x)=\cotg \(x-\frac{\pi}4\)[/tex3]
  • Período:
Sabemos que [tex3]\tan(x)[/tex3] possuí período igual à [tex3]\pi[/tex3] . Como [tex3]\cotg(x)={1\over\tan(x)}[/tex3] , então [tex3]h[/tex3] também possuirá período [tex3]\pi[/tex3]
  • Imagem:
Como [tex3]\cotg\(x-\frac{\pi}4\)={\cos\(x-\frac{\pi}4\)\over\sen\(x-\frac{\pi}4\)}[/tex3] , quando [tex3]x[/tex3] se aproxima de [tex3]\frac{\pi}4[/tex3] , então [tex3]\cos\(x-\frac{\pi}4\)[/tex3] se aproxima de um, mas o denominador se aproxima de zero, assim o numerador será um número finito enquanto o denominador ficará muito pequeno, fazendo que o valor de [tex3]h[/tex3] aumente cada vez mais, indo até o infinito. Da mesma forma, quando [tex3]x[/tex3] se aproxima de [tex3]\frac{\pi}4+\pi[/tex3] , então [tex3]\cos\(x-\frac{\pi}4\)[/tex3] se aproxima de [tex3]-1[/tex3] , mas o denominador se aproxima de zero, assim o numerador será um número finito negativo enquanto o denominador ficará muito pequeno, fazendo que o valor de [tex3]h[/tex3] diminua cada vez mais, indo até infinito negativo. Ou seja:
[tex3]\text{Im}(h)=(-\infty,\infty)=\mathbb{R}[/tex3]


[tex3]\color{YellowOrange}\textbf{Não importa o quanto se esforce ou evolua, você sempre estará abaixo do Sol}[/tex3]
[tex3]\textbf{Escanor}[/tex3]

mcarvalho
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Jul 2020 09 10:32

Re: Função e Transformação em Trigonometria

Mensagem não lida por mcarvalho »

AnthonyC, bacana, obrigado! Eu devo ter copiado a fórmula errada ou me atrapalhado aqui.



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