Ensino Médio ⇒ Valores naturais para o qual z^n é número real ou imaginário puro Tópico resolvido

[missives]

1) Dado o número complexo z = 2 [tex3]\sqrt{3}[/tex3]

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[tex3]\sqrt{3}[/tex3]

+ 2i, determine os dois menores valores naturais de n, para os quais z^n é imaginário puro.
2) Qual é o menor valor natural positivo n para o qual ([tex3]\sqrt{3}[/tex3]

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[tex3]\sqrt{3}[/tex3]

- i)^n é um número real? Qual é, nesse caso, o número real?

Respostas:
1) 3 e 9
2) n = 6; -64

[snooplammer]

missives, as questões são padrões, coloque os complexos na forma exponencial

[tex3]z=a+bi [/tex3]

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[tex3]z=a+bi [/tex3]

, mas também temos que

[tex3]z=|z|(\cos \theta +i\sen \theta)=|z|\cis\theta[/tex3]

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[tex3]z=|z|(\cos \theta +i\sen \theta)=|z|\cis\theta[/tex3]

Da 1 Lei de Moivre

[tex3]z^n=|z|^n\cis(n\theta)[/tex3]

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[tex3]z^n=|z|^n\cis(n\theta)[/tex3]

Para que um complexo seja real, basta que [tex3]i\sen\theta[/tex3]

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[tex3]i\sen\theta[/tex3]

desapareça, logo [tex3]\theta=k\pi[/tex3]

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[tex3]\theta=k\pi[/tex3]

Em que [tex3]\theta=\arg(z)=\arctg\left(\frac{b}{a}\right)[/tex3]

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[tex3]\theta=\arg(z)=\arctg\left(\frac{b}{a}\right)[/tex3]