Ensino MédioDemonstração da relação entre ângulo inscrito e central por números complexos

Problemas sobre assuntos estudados no Ensino Médio devem ser postados aqui. Se o problema for de Vestibular, poste-o no fórum Pré-Vestibular

Moderador: [ Moderadores TTB ]

Avatar do usuário
Autor do Tópico
snooplammer
4 - Sabe Tudo
Mensagens: 1600
Registrado em: Seg 24 Out, 2016 14:18
Última visita: 27-10-20
Ago 2019 12 10:05

Demonstração da relação entre ângulo inscrito e central por números complexos

Mensagem não lida por snooplammer »

Uma aplicação básica, mas ao mesmo tempo bonita dos números complexos

Seja a seguinte circunferência:
0c38e361-52fd-4d34-9214-23e7d92c7f20.jpeg
0c38e361-52fd-4d34-9214-23e7d92c7f20.jpeg (7.86 KiB) Exibido 204 vezes
Consideraremos um plano complexo com origem no centro da circunferência que tem seu raio valendo r

Pelas considerações anteriores teremos o seguinte:

[tex3]B(r,0)=r[/tex3]

[tex3]A(x_1,y_1)=r\cis(\varphi)[/tex3]

[tex3]P(x_2,y_2)=r\cis \alpha[/tex3]

Sejam os vetores [tex3]\overrightarrow{AP}[/tex3] e [tex3]\overrightarrow{BP}[/tex3]

[tex3]\overrightarrow{AP}[/tex3] é uma rotação de [tex3]\overrightarrow{BP}[/tex3] , e não é necessário que o módulo de um vetor seja constante quando rotacionado

Também sabemos que todo [tex3]\overrightarrow{MN}=N-M[/tex3]

Logo,

[tex3]\frac{\overrightarrow{AP}}{\overrightarrow{PB}}=k\cis \alpha[/tex3]

[tex3]\frac{r\cis \alpha-r\cis \varphi}{r \cis \alpha-r}=k\cis \alpha[/tex3]

Vamos dividir [tex3]k\cis \alpha[/tex3] pelo seu conjugado, eliminando k, que é a razão dos módulo de [tex3]\overrightarrow{AP}[/tex3] e [tex3]\overrightarrow{BP}[/tex3]

[tex3]\large \frac{\frac{r\cis \alpha-r\cis \varphi}{r \cis \alpha -r}}{\frac{r\cis(-\alpha)-r\cis(-\varphi)}{r\cis(-\alpha)-r}}[/tex3] [tex3]=\frac{k\cis \alpha}{k\cis(-\alpha)}[/tex3]

[tex3]\frac{r(\cis \alpha-\cis \varphi)}{r(\cis \alpha-1)}\cdot \frac{r(\cis (-\alpha)-1)}{r(\cis(-\alpha)-\cis(-\varphi))}=\cis 2\alpha[/tex3]

[tex3]\frac{\cis \alpha-\cis \varphi}{\cis \alpha-1}\cdot \frac{\cis (-\alpha)-1}{\cis(-\alpha)-\cis(-\varphi)}=\cis 2\alpha[/tex3]

[tex3]\cis (-\alpha) =\frac{1}{\cis \alpha}[/tex3]

[tex3]\cis (-\varphi) =\frac{1}{\cis \varphi}[/tex3]

[tex3]\frac{\cis \alpha-\cis \varphi}{\cis \alpha-1}\cdot \frac{\large {\frac{1-\cis \alpha }{\cis \alpha}}}{\frac{\large \cis \varphi - \cis \alpha}{ \large \cis\varphi \cis \alpha}}=\cis 2\alpha[/tex3]

[tex3]\frac{\cis \alpha-\cis \varphi}{\cis \alpha-1}\cdot\frac{\cis \varphi(1-\cis \alpha )}{\cis \varphi - \cis \alpha}=\cis 2\alpha[/tex3]

[tex3]\frac{\cis \alpha-\cis \varphi}{\cis \alpha-1}\cdot\frac{\cis \varphi(1-\cis \alpha )}{\cis \varphi - \cis \alpha}=\cis \varphi[/tex3]

[tex3]\cis \varphi=\cis 2\alpha[/tex3]

[tex3]\alpha= \frac{\varphi}{2} \ \ \blacksquare[/tex3]

Última edição: snooplammer (Seg 12 Ago, 2019 10:13). Total de 1 vez.



Responder
  • Tópicos Semelhantes
    Respostas
    Exibições
    Última msg

Voltar para “Ensino Médio”