Resposta
3
Obrigado desde já.
Ensino Médio ⇒ Polinômios Tópico resolvido
Moderador: [ Moderadores TTB ]
Jul 2019
20
18:36
Polinômios
Se o polinômio P(x) = [tex3]x^{3}[/tex3]
-k [tex3]x^{2}[/tex3]
+kx-1 é divisível por [tex3](x-1)^{2}[/tex3]
, então K é igual a:
3
Pela resolução que eu vi na internet, usou-se o teorema do resto P (-b/a) com [tex3](x-1)^{2}[/tex3]
desenvolvido, chegando a P (2) e achando K=3. Eu achei que o teorema só se aplicava a binômios como x-a e que não poderia ser usado em outros casos... estou certo ou errado? Outra dúvida é que eu pensei que se ele é divisível por [tex3](x-1)^{2}[/tex3]
, então obrigatoriamente ele teria que ser divisível por x-1, só que quando tentei resolver assim com P(-b/a)=1 (de x-1), vi que K poderia assumir qualquer valor. Poderiam esclarecer isso pra mim?
Obrigado desde já.
3
Obrigado desde já.
-
MateusQqMD 
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Jul 2019
20
18:43
Re: Polinômios
Olá, pinkprint
Se [tex3]p(X)[/tex3] é divisível por [tex3](X-1)^2,[/tex3] então
[tex3]p(X) = (X-1)^2(X-a)[/tex3]
Desenvolvendo o lado direito da igualdade
[tex3]p(X) = (X^2 -2X +1)(X-a)[/tex3]
Isto é,
[tex3]X^3 -kX^2 +kX -1 = X^3 + (-a-2)X^2 + (2a +1)X -a[/tex3]
Da igualdade, temos
[tex3]\begin{cases}
-1 = -a \,\,\,\to\,\,\, a =1 \\
k = 2a + 1 \,\,\,\to\,\,\, k = 3
\end{cases}[/tex3]
Se [tex3]p(X)[/tex3] é divisível por [tex3](X-1)^2,[/tex3] então
[tex3]p(X) = (X-1)^2(X-a)[/tex3]
Desenvolvendo o lado direito da igualdade
[tex3]p(X) = (X^2 -2X +1)(X-a)[/tex3]
Isto é,
[tex3]X^3 -kX^2 +kX -1 = X^3 + (-a-2)X^2 + (2a +1)X -a[/tex3]
Da igualdade, temos
[tex3]\begin{cases}
-1 = -a \,\,\,\to\,\,\, a =1 \\
k = 2a + 1 \,\,\,\to\,\,\, k = 3
\end{cases}[/tex3]
"Como sou pouco e sei pouco, faço o pouco que me cabe me dando por inteiro."
-
MateusQqMD
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Jul 2019
20
18:44
Re: Polinômios
Vou ver o jogo do mibr e dps dou uma olhada no texto da sua msg.
Última edição: MateusQqMD (Sáb 20 Jul, 2019 18:45). Total de 1 vez.
"Como sou pouco e sei pouco, faço o pouco que me cabe me dando por inteiro."
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PedroCunha - Mensagens: 2652
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Jul 2019
20
18:55
Re: Polinômios
Boa noite, @pinkprint!
De fato o Teorema do Resto só é válido para binômios. E sim, ele deve ser divisível por [tex3](x-1) [/tex3] . Porém note que:
[tex3]
P(1) = 0 \therefore 1 - k+k-1 = 0 \therefore 0 = 0
[/tex3]
o que sempre é verdade independentemente do valor de [tex3]k [/tex3] . Logo, isso não nos ajuda!
Apresento, então, duas outras possibilidades de resolução:
1) Briot-Ruffini
Se [tex3]1 [/tex3] é raiz de multiplicidade [tex3]2[/tex3] de [tex3]P(x) [/tex3] então ao aplicarmos Briot-Ruffini duas vezes, em ambas o resto deve ser nulo:
[tex3]
\begin{array} {c|c c c c} 1 & 1 & -k & k & -1 \\ \hline 1 & 1 & 1-k & 1 & 0 \\ \hline & 1 & 2-k& \underbrace{3-k}_{r(k)} \end{array}
[/tex3]
Como o resto deve ser nulo:
[tex3]
3-k = 0 \Leftrightarrow \boxed{\boxed{ k = 3 }}
[/tex3]
2) Derivadas
Se [tex3]r [/tex3] é raiz de multiplicidade 2 de [tex3]P(x) [/tex3] , então [tex3]r [/tex3] é raiz de multiplicidade 1 de [tex3]P'(x) [/tex3] , derivada de [tex3]P(x) [/tex3] . Assim:
[tex3]
P'(1) = 0 \therefore 3 \cdot 1^2 - 2k \cdot 1 + k = 0 \therefore -k = -3 \Leftrightarrow \boxed{\boxed{ k = 3 }}
[/tex3]
Abraços,
Pedro
De fato o Teorema do Resto só é válido para binômios. E sim, ele deve ser divisível por [tex3](x-1) [/tex3] . Porém note que:
[tex3]
P(1) = 0 \therefore 1 - k+k-1 = 0 \therefore 0 = 0
[/tex3]
o que sempre é verdade independentemente do valor de [tex3]k [/tex3] . Logo, isso não nos ajuda!
Apresento, então, duas outras possibilidades de resolução:
1) Briot-Ruffini
Se [tex3]1 [/tex3] é raiz de multiplicidade [tex3]2[/tex3] de [tex3]P(x) [/tex3] então ao aplicarmos Briot-Ruffini duas vezes, em ambas o resto deve ser nulo:
[tex3]
\begin{array} {c|c c c c} 1 & 1 & -k & k & -1 \\ \hline 1 & 1 & 1-k & 1 & 0 \\ \hline & 1 & 2-k& \underbrace{3-k}_{r(k)} \end{array}
[/tex3]
Como o resto deve ser nulo:
[tex3]
3-k = 0 \Leftrightarrow \boxed{\boxed{ k = 3 }}
[/tex3]
2) Derivadas
Se [tex3]r [/tex3] é raiz de multiplicidade 2 de [tex3]P(x) [/tex3] , então [tex3]r [/tex3] é raiz de multiplicidade 1 de [tex3]P'(x) [/tex3] , derivada de [tex3]P(x) [/tex3] . Assim:
[tex3]
P'(1) = 0 \therefore 3 \cdot 1^2 - 2k \cdot 1 + k = 0 \therefore -k = -3 \Leftrightarrow \boxed{\boxed{ k = 3 }}
[/tex3]
Abraços,
Pedro
Última edição: PedroCunha (Sáb 20 Jul, 2019 22:50). Total de 1 vez.
"Por céus e mares eu andei, vi um poeta e vi um rei, na esperança de saber o que é o amor..."
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