Ensino Médio ⇒ geometria espacial Tópico resolvido

[vitorsl123]

A figura abaixo representa dois vasilhames cilíndricos abertos na parte superior, o maior com raio da base R e o menor com raio da base r e altura [tex3]\frac{7r}{3}[/tex3]

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[tex3]\frac{7r}{3}[/tex3]

O cilindro maior possui um tubo de escoamento acoplado e está cheio de líquido exatamente até o orifício do tubo de escoamento sem que se perca nada. O cilindro menor possui em seu interior um cone sólido cuja altura é a medida do diâmetro de sua base, encaixando-se perfeitamente à base do cilindro.
Em um experimento, ao imergirmos completamente uma esfera de raio r dentro do cilindro com líquido, certa quantidade de líquido escoará para o vasilhame menor pelo tubo.

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Sobre o resultado do experimento, é possível afirmar que

a) o líquido transbordará.

b) o cilindro menor ficará cheio até a borda.

c) o cone ficará totalmente coberto pelo líquido.

d) um pedaço do cone de altura [tex3]\frac{r}{3}[/tex3]

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[tex3]\frac{r}{3}[/tex3]

ficará acima do líquido.

[petras]

Volume Cilindro Menor = Volume Cilindro Menor - Volume do Cone:
[tex3]\mathsf{V_{cm}=\frac{\pi r^2.7r}{3}-\frac{\pi r^2.2r}{3}=\frac{5\pi r^3}{3}(I)}[/tex3]

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[tex3]\mathsf{V_{cm}=\frac{\pi r^2.7r}{3}-\frac{\pi r^2.2r}{3}=\frac{5\pi r^3}{3}(I)}[/tex3]

Volume transferido = Volume da Esfera = [tex3]\mathsf{V_{cm}=\frac{4\pi r^3}{3}(II)\\
(I) - (II)=\frac{5\pi r^3}{3}-\frac{4\pi r^3}{3} = \frac{\pi r^3}{3}=volume ~restante~cilindro~menor}[/tex3]

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[tex3]\mathsf{V_{cm}=\frac{4\pi r^3}{3}(II)\\
(I) - (II)=\frac{5\pi r^3}{3}-\frac{4\pi r^3}{3} = \frac{\pi r^3}{3}=volume ~restante~cilindro~menor}[/tex3]

mas [tex3]\mathsf{ \frac{\pi r^3}{3}}[/tex3]

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[tex3]\mathsf{ \frac{\pi r^3}{3}}[/tex3]

é o volume do cilindro acima do cone ( altura = [tex3]\mathsf{\frac{7r}{3}-2r = \frac{r}{3}~e~base=2r\rightarrow V=\pi r^2\frac{r}{3}=\frac{\pi r^3}{3})}[/tex3]

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[tex3]\mathsf{\frac{7r}{3}-2r = \frac{r}{3}~e~base=2r\rightarrow V=\pi r^2\frac{r}{3}=\frac{\pi r^3}{3})}[/tex3]

Portanto o cone está totalmente coberto.