Ensino Médio ⇒ Parábola Tópico resolvido

[Zelcath]

A figura a seguir mostra o portal monumental da cidade de Ibiracaí, localizada no estado da Bahia.

*Imagem em anexo*

De acordo com os dados do projeto, o monumento foi construído na forma de um arco de parábola, com altura máxima igual a 9 metros e com largura da base igual a 44 metros. Abaixo do arco há duas aberturas, pelas quais passam duas ruas. Suponha que em um plano de manutenção está prevista a instalação de duas lâmpadas, uma em cada abertura abaixo do arco, a uma distância horizontal de 11 metros de cada extremidade da base. Nesse caso, desprezando a espessura do arco, a altura em relação ao solo na qual as lâmpadas estarão localizadas será, em metros,

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Resposta

---

Resposta: 6.75

[mcarvalho]

Consideremos que o ponto máximo da parábola intercepta o eixo y. Assim, suas coordenadas são [tex3](0;9)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3](0;9)[/tex3]

. Dessa maneira, as extremidades da base serão as raízes (x1 e x2) da parábola, simétricas ao eixo y, tais que [tex3]x_{1}=-22[/tex3]

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[tex3]x_{1}=-22[/tex3]

e [tex3]x_{1}=+22[/tex3]

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[tex3]x_{1}=+22[/tex3]

. Queremos descobrir f(11) = f(-11).

A equação da parábola é [tex3]f(x)=ax^2+bx+c[/tex3]

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[tex3]f(x)=ax^2+bx+c[/tex3]

Temos que [tex3]f(0)=9\rightarrow c=9[/tex3]

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[tex3]f(0)=9\rightarrow c=9[/tex3]

, e que [tex3]x_{v}=\frac{-b}{2a}=0\rightarrow b=0[/tex3]

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[tex3]x_{v}=\frac{-b}{2a}=0\rightarrow b=0[/tex3]

.
Portanto a equação geral pode ser reescrita como: [tex3]f(x)=ax^{2}+9[/tex3]

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[tex3]f(x)=ax^{2}+9[/tex3]

. Temos que [tex3]f(-22)=f(22)=0[/tex3]

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[tex3]f(-22)=f(22)=0[/tex3]

. Então: [tex3]a(22)^{2}+9=0\rightarrow a=\frac{-9}{484}[/tex3]

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[tex3]a(22)^{2}+9=0\rightarrow a=\frac{-9}{484}[/tex3]

.

Para descobrirmos f(11), basta aplicarmos na equação: [tex3]f(11) = \frac{-9}{484} \cdot (11)^{2}+9=6,75[/tex3]

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[tex3]f(11) = \frac{-9}{484} \cdot (11)^{2}+9=6,75[/tex3]

Qualquer coisa que não tiver ficado clara, só me dar um toque.

[PedroCunha]

Boa noite, @Zelcath.

Se supormos que essa parábola se encontra num eixo coordenado com a base esquerda na origem, veremos que ela passa pelos pontos [tex3]A = (0,0), B = (22,9), C(44,0) [/tex3]

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[tex3]A = (0,0), B = (22,9), C(44,0) [/tex3]

. Desse modo, sua equação é tal que:

[tex3]

f(x) = a \cdot (x-0) \cdot (x-44) \therefore f(x) = a \cdot (x^2 -44x)

[/tex3]

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[tex3]

f(x) = a \cdot (x-0) \cdot (x-44) \therefore f(x) = a \cdot (x^2 -44x)

[/tex3]

Como ela passa por B:

[tex3]

f(22) = 9 \therefore a \cdot (22^2 - 44 \cdot 22) = 9 \therefore a = -\frac{9}{484}

[/tex3]

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[tex3]

f(22) = 9 \therefore a \cdot (22^2 - 44 \cdot 22) = 9 \therefore a = -\frac{9}{484}

[/tex3]

Para encontrar a altura das lâmpadas, basta encontrarmos [tex3]f(11) [/tex3]

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[tex3]f(11) [/tex3]

:

[tex3]

f(11) = h_l = -\frac{9}{484} \cdot (11^2 - 44 \cdot 11) \therefore \boxed{\boxed{ h_l = 6,75 \,\,m}}

[/tex3]

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[tex3]

f(11) = h_l = -\frac{9}{484} \cdot (11^2 - 44 \cdot 11) \therefore \boxed{\boxed{ h_l = 6,75 \,\,m}}

[/tex3]

Em anexo coloco o esboço geométrico da questão.

Abraço,
Pedro.

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[Zelcath]

Consideremos que o ponto máximo da parábola intercepta o eixo y. Assim, suas coordenadas são [tex3](0;9)[/tex3]

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[tex3](0;9)[/tex3]

. Dessa maneira, as extremidades da base serão as raízes (x1 e x2) da parábola, simétricas ao eixo y, tais que [tex3]x_{1}=-22[/tex3]

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[tex3]x_{1}=-22[/tex3]

e [tex3]x_{1}=+22[/tex3]

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[tex3]x_{1}=+22[/tex3]

. Queremos descobrir f(11) = f(-11).

A equação da parábola é [tex3]f(x)=ax^2+bx+c[/tex3]

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[tex3]f(x)=ax^2+bx+c[/tex3]

Temos que [tex3]f(0)=9\rightarrow c=9[/tex3]

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[tex3]f(0)=9\rightarrow c=9[/tex3]

, e que [tex3]x_{v}=\frac{-b}{2a}=0\rightarrow b=0[/tex3]

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[tex3]x_{v}=\frac{-b}{2a}=0\rightarrow b=0[/tex3]

.
Portanto a equação geral pode ser reescrita como: [tex3]f(x)=ax^{2}+9[/tex3]

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[tex3]f(x)=ax^{2}+9[/tex3]

. Temos que [tex3]f(-22)=f(22)=0[/tex3]

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[tex3]f(-22)=f(22)=0[/tex3]

. Então: [tex3]a(22)^{2}+9=0\rightarrow a=\frac{-9}{484}[/tex3]

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[tex3]a(22)^{2}+9=0\rightarrow a=\frac{-9}{484}[/tex3]

.

Para descobrirmos f(11), basta aplicarmos na equação: [tex3]f(11) = \frac{-9}{484} \cdot (11)^{2}+9=6,75[/tex3]

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[tex3]f(11) = \frac{-9}{484} \cdot (11)^{2}+9=6,75[/tex3]

Qualquer coisa que não tiver ficado clara, só me dar um toque.

Por que você assumiu que x1 = -22 e +22? E por que o Xv deu b=0?

[Zelcath]

f(x) = a \cdot (x-0) \cdot (x-44) \therefore f(x) = a \cdot (x^2 -44x)

Por que o x1 é 0 e o x2 é 44?

[PedroCunha]

f(x) = a \cdot (x-0) \cdot (x-44) \therefore f(x) = a \cdot (x^2 -44x)

Por que o x1 é 0 e o x2 é 44?

São os pontos nos quais o valor de [tex3]y [/tex3]

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[tex3]y [/tex3]

(ou da altura) são nulos, ou seja, são as raízes da parábola.

[Zelcath]

f(x) = a \cdot (x-0) \cdot (x-44) \therefore f(x) = a \cdot (x^2 -44x)

Por que o x1 é 0 e o x2 é 44?

São os pontos nos quais o valor de [tex3]y [/tex3]

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[tex3]y [/tex3]

(ou da altura) são nulos, ou seja, são as raízes da parábola.

Entendi. Mas no problema, onde fica claro que a raiz é 0 e 44? Pq assim, olhando para o gráfico isso fica visível, no entanto, não consigo chegar a essa interpretação olhando apenas para questão. Pq a única coisa mencionada é que a largura da base é 44... :/

[csmarcelo]

Entendi. Mas no problema, onde fica claro que a raiz é 0 e 44? Pq assim, olhando para o gráfico isso fica visível, no entanto, não consigo chegar a essa interpretação olhando apenas para questão. Pq a única coisa mencionada é que a largura da base é 44... :/

Não está claro na questão. É consequência da interpretação do Pedro.

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[csmarcelo]

Por que você assumiu que x1 = -22 e +22?

Porque ele interpretou de outra forma.

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E por que o Xv deu b=0?

Se [tex3]x_v=0[/tex3]

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[tex3]x_v=0[/tex3]

e [tex3]a\neq0[/tex3]

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[tex3]a\neq0[/tex3]

, consequentemente teremos [tex3]b=0[/tex3]

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[tex3]b=0[/tex3]

.

Perceba que isso, consequentemente, é uma regra: se o vértice da parábola pertence ao eixo das ordenadas, [tex3]b=0[/tex3]

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[tex3]b=0[/tex3]

.

[csmarcelo]

Um outra forma de chegar à conclusão de que [tex3]b=0[/tex3]

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[tex3]b=0[/tex3]

:

Dada a simetria da parábola, se o seu vértice está localizado no eixo das ordenadas, então sua equação é da forma [tex3]a(x+k)(x-k)=0[/tex3]

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[tex3]a(x+k)(x-k)=0[/tex3]

.

[tex3]a(x+k)(x-k)=0[/tex3]

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[tex3]a(x+k)(x-k)=0[/tex3]

[tex3]a(x^2-k^2)=0[/tex3]

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[tex3]a(x^2-k^2)=0[/tex3]

[tex3]ax^2-ak^2=0[/tex3]

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[tex3]ax^2-ak^2=0[/tex3]

Daí,

[tex3]a=a[/tex3]

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[tex3]a=a[/tex3]

[tex3]c=ak^2[/tex3]

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[tex3]c=ak^2[/tex3]

[tex3]b=0[/tex3]

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[tex3]b=0[/tex3]