a) [tex3]\log_3\log_{x^2}\log_{x^2}x^4>0[/tex3]
b) [tex3]\log_2 x\cdot \log_3 2x+\log_3 x\cdot \log_2 3x \ge 0[/tex3]
Resposta
[tex3]a: (-√2, 1) U (1,√2); b: (0,1/√6) U (1,+∞)[/tex3]
Ensino Médio ⇒ Equação Logarítmica Tópico resolvido
Moderador: [ Moderadores TTB ]
Jun 2019
19
14:04
Equação Logarítmica
Determine os valores reais de [tex3]x[/tex3]
que satisfazem:
a) [tex3]\log_3\log_{x^2}\log_{x^2}x^4>0[/tex3]
b) [tex3]\log_2 x\cdot \log_3 2x+\log_3 x\cdot \log_2 3x \ge 0[/tex3]
[tex3]a: (-√2, 1) U (1,√2); b: (0,1/√6) U (1,+∞)[/tex3]
a) [tex3]\log_3\log_{x^2}\log_{x^2}x^4>0[/tex3]
b) [tex3]\log_2 x\cdot \log_3 2x+\log_3 x\cdot \log_2 3x \ge 0[/tex3]
[tex3]a: (-√2, 1) U (1,√2); b: (0,1/√6) U (1,+∞)[/tex3]
Última edição: caju (Qua 19 Jun, 2019 16:29). Total de 2 vezes.
Razão: retirar o enunciado da imagem.
Razão: retirar o enunciado da imagem.
Jun 2019
21
09:26
Re: Equação Logarítmica
a)
[tex3]\log_3\[\log_{x^2}\(\log_{x^2}x^4\)\]>0[/tex3]
[tex3]\log_{x^2}\(\log_{x^2}x^4\)>1[/tex3]
[tex3]\log_{x^2}\(\frac{4\cdot\log_xx}{2}\)>1[/tex3]
[tex3]\log_{x^2}2>1[/tex3]
[tex3]\frac{\log_x2}{2}>1[/tex3]
[tex3]\log_x2>2[/tex3]
Daí, concluímos que
[tex3]1< x^2<2\therefore 1< |x|<\sqrt{2}\therefore\begin{cases}1< x<\sqrt{2}\\ou\\-\sqrt{2}< x<-1\end{cases}[/tex3]
Repare que ignoramos a condição da base ser positiva, pois, na expressão original, o [tex3]x[/tex3] está elevado a potências pares e, portanto, pode assumir qualquer valor não-nulo diferente de [tex3]\pm1[/tex3] .
[tex3]\log_3\[\log_{x^2}\(\log_{x^2}x^4\)\]>0[/tex3]
[tex3]\log_{x^2}\(\log_{x^2}x^4\)>1[/tex3]
[tex3]\log_{x^2}\(\frac{4\cdot\log_xx}{2}\)>1[/tex3]
[tex3]\log_{x^2}2>1[/tex3]
[tex3]\frac{\log_x2}{2}>1[/tex3]
[tex3]\log_x2>2[/tex3]
Daí, concluímos que
[tex3]1< x^2<2\therefore 1< |x|<\sqrt{2}\therefore\begin{cases}1< x<\sqrt{2}\\ou\\-\sqrt{2}< x<-1\end{cases}[/tex3]
Repare que ignoramos a condição da base ser positiva, pois, na expressão original, o [tex3]x[/tex3] está elevado a potências pares e, portanto, pode assumir qualquer valor não-nulo diferente de [tex3]\pm1[/tex3] .
Última edição: csmarcelo (Sex 21 Jun, 2019 10:20). Total de 1 vez.
Jun 2019
21
10:17
Re: Equação Logarítmica
[tex3]\log_2x\cdot\log_32x+\log_3x\cdot\log_23x\ge0[/tex3]
Utilizando a propriedade [tex3]\log_ab=\frac{\log b}{\log a}[/tex3]
[tex3]\frac{\log x}{\log2}\cdot\frac{\log2x}{\log3}+\frac{\log x}{\log3}\cdot\frac{\log3x}{\log2}\ge0[/tex3]
Trocando os denominadores entre os fatores da primeira parcela
[tex3]\frac{\log x}{\log3}\cdot\frac{\log2x}{\log2}+\frac{\log x}{\log3}\cdot\frac{\log3x}{\log2}\ge0[/tex3]
Fator comum
[tex3]\frac{\log x}{\log3}\(\frac{\log2x}{\log2}+\frac{\log3x}{\log2}\)\ge0[/tex3]
Daí
[tex3]\frac{\log x}{\log3}\cdot\frac{\log6x^2}{\log2}\ge0[/tex3]
Como só temos produtos, basta analisar os sinais.
[tex3]\log3\cdot\log2[/tex3] é um número positivo e, portanto, para que a expressão seja positiva:
1) [tex3]\log x[/tex3] e [tex3]\log6x^2[/tex3] devem ser positivos simultaneamente
[tex3]\log x>0\rightarrow x>1[/tex3]
[tex3]\log6x^2>0\rightarrow\begin{cases}6x^2>1\\x>0\end{cases}\rightarrow x>\frac{\sqrt{6}}{6}[/tex3]
Fazendo a interseção
[tex3](1,+\infty)\wedge\(\frac{\sqrt{6}}{6},+\infty\)\rightarrow(1,+\infty)[/tex3]
2) [tex3]\log x[/tex3] e [tex3]\log6x^2[/tex3] devem ser negativos simultaneamente
[tex3]\log x<0\rightarrow 0< x<1[/tex3]
[tex3]\log6x^2<0\rightarrow0<6x^2<1\rightarrow0< x<\frac{\sqrt{6}}{6}[/tex3]
[tex3](0,1)\wedge\(0,\frac{\sqrt{6}}{6}\)\rightarrow\(0,\frac{\sqrt{6}}{6}\)[/tex3]
Utilizando a propriedade [tex3]\log_ab=\frac{\log b}{\log a}[/tex3]
[tex3]\frac{\log x}{\log2}\cdot\frac{\log2x}{\log3}+\frac{\log x}{\log3}\cdot\frac{\log3x}{\log2}\ge0[/tex3]
Trocando os denominadores entre os fatores da primeira parcela
[tex3]\frac{\log x}{\log3}\cdot\frac{\log2x}{\log2}+\frac{\log x}{\log3}\cdot\frac{\log3x}{\log2}\ge0[/tex3]
Fator comum
[tex3]\frac{\log x}{\log3}\(\frac{\log2x}{\log2}+\frac{\log3x}{\log2}\)\ge0[/tex3]
Daí
[tex3]\frac{\log x}{\log3}\cdot\frac{\log6x^2}{\log2}\ge0[/tex3]
Como só temos produtos, basta analisar os sinais.
[tex3]\log3\cdot\log2[/tex3] é um número positivo e, portanto, para que a expressão seja positiva:
1) [tex3]\log x[/tex3] e [tex3]\log6x^2[/tex3] devem ser positivos simultaneamente
[tex3]\log x>0\rightarrow x>1[/tex3]
[tex3]\log6x^2>0\rightarrow\begin{cases}6x^2>1\\x>0\end{cases}\rightarrow x>\frac{\sqrt{6}}{6}[/tex3]
Fazendo a interseção
[tex3](1,+\infty)\wedge\(\frac{\sqrt{6}}{6},+\infty\)\rightarrow(1,+\infty)[/tex3]
2) [tex3]\log x[/tex3] e [tex3]\log6x^2[/tex3] devem ser negativos simultaneamente
[tex3]\log x<0\rightarrow 0< x<1[/tex3]
[tex3]\log6x^2<0\rightarrow0<6x^2<1\rightarrow0< x<\frac{\sqrt{6}}{6}[/tex3]
[tex3](0,1)\wedge\(0,\frac{\sqrt{6}}{6}\)\rightarrow\(0,\frac{\sqrt{6}}{6}\)[/tex3]
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