Ensino Médio

Mensagem não lidapor **Mars3M4** » Dom 16 Jun, 2019 13:52

Sejam as retas [tex3]r : y = 4x[/tex3] e [tex3]s : y = 2x −1[/tex3]. A reta [tex3]t[/tex3] passa pela origem e é perpendicular à reta [tex3]s[/tex3]. O triângulo determinado pelas retas [tex3]r[/tex3], [tex3]s[/tex3] e [tex3]t[/tex3] tem área igual a

A) [tex3]\frac{9}{10}[/tex3]

B) [tex3]\frac{1}{2\sqrt{5}}[/tex3]

C) [tex3]\frac{9}{20}[/tex3]

D) [tex3]\frac{\sqrt{2}}{2}[/tex3]

E) [tex3]\sqrt{5}[/tex3]

Resposta

GABARITO: C

Mensagem não lidapor **Planck** » Seg 17 Jun, 2019 13:47 · Mensagem não lida por **Planck** » Seg 17 Jun, 2019 13:47

Olá Mars3M4,

Inicialmente, vamos determinar a equação da reta [tex3]t[/tex3] . Sabemos que ela é do tipo:

[tex3]t(x) = \text{a} \cdot x + \text{b}[/tex3]

Como a reta passa pela origem, [tex3]\text{b} = 0[/tex3] . O coeficiente [tex3]\text{a}[/tex3] pode ser obtido por uma relação que estabelece que o produto entre o coeficiente angular de duas retas perpendiculares é igual a [tex3]-1[/tex3] . Ou seja:

[tex3]\text{a} \cdot 2 = -1 \, \, \, \, \Rightarrow \text{a} = -\frac{1}{2}[/tex3]

Logo, a reta [tex3]t[/tex3] é dada por:

[tex3]t(x) = -\frac{1}{2} \cdot x [/tex3]

Vamos encontrar os pontos de encontro entre as retas para determinar os vértices do triângulo e utilizar um dispositivo prático para calcular a área do triângulo. Já sabemos que o triângulo possui [tex3]\text{A} = (0,~0)[/tex3] como um dos pontos, pois duas retas que o compõe passam pela origem. Para os demais pontos, vamos fazer o seguinte:

[tex3]t(x) = s(x) \, \, \implies \, \, -\frac{1}{2} \cdot x = 2x - 1 \, \, \, \, \Rightarrow \, \, \, \, x= \frac{2}{5}, \, y = -2 \, \, \implies \, \, \text{B} = \left( \frac{2}{5}, \, -\frac{1}{5}\right)[/tex3]

[tex3]r(x) = s(x) \, \, \implies \, \, 4x = 2x - 1 \, \, \, \, \Rightarrow \, \, \, \, x= - \frac{1}{2}, \, y = -2 \, \, \implies \, \, \text{C} = \left( -\frac{1}{2}, \, -2\right)[/tex3]

Para calcular a área, vamos utilizar a ideia demonstrada aqui. Desse modo, temos que:

[tex3]A=\frac{1}{2} \times \left| \begin{array}{ccc}x_a & y_a & 1\\x_b & y_b & 1\\x_c & y_c & 1 \end{array} \right|
\, \, \implies \, \, \frac{1}{2} \times \left| \begin{array}{ccc}0& 0 & 1\\\frac{2}{5} & -\frac{1}{5}& 1\\-\frac{1}{2} & -2 & 1 \end{array} \right|\, \, \iff \, \, \frac{1}{2} \times \left[ \left( \frac{4}{5} \right) -\left( -\frac{1}{10} \right) \right][/tex3]

Com isso, obtemos que:

[tex3]A= \frac{1}{2} \times \frac{9}{20} \, \, \, \, \Rightarrow \, \, \, \, {\color{forestgreen} \boxed{A = \frac{9}{20} } }[/tex3]

Um esboço do que está acontecendo:

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