Ensino Médio ⇒ Imagem de uma função constante Tópico resolvido

[petras]

Minha dúvida seria qual a maneira correta de se expressar a imagem em notação algébrica e de intervalos quanto temos funções constantes em funções de mais de uma sentença? (Considerando os Reais)
Quais estariam corretas e justificar as que não estão corretas
É uma dúvida teórica portanto não há gabarito.


a) f(x) =[1 se 0 < x  ≤ 1
         2 se 1 < x ≤ 2

Im ={y ∈ R |y=1 ou y =2}
a) Im = {y ∈ R |y = 1 e y = 2}
b) Im = [1] U [2]
c) Im = {1} U {2}
d) f(x) ∈ {1, 2}
e) f(x)= 1 ou 2

b) f(x) = 5 se x < -3. -2x-2 se x ≥  -2
f) Im = (-∞, 2) ∪ [5]
g) Im = (-∞, 2) ∪ {5}
h) Im = {y ∈ R | y < 2 ou y = 5}

[csmarcelo]

a) f(x) =[1 se 0 < x ≤ 1, 2 se 1 < x ≤ 2]

Im ={y ∈ R |y=1 ou y =2}

Acredito que essa seja a minha preferida.

Im = {y ∈ R |y = 1 e y = 2}

O uso da conjunção "e", nesse caso, é incorreto. Ela determina que ambas proposições devem ser verdadeiras simultaneamente. Relacionando os conectivos lógicos com a teoria dos conjuntos, a conjunção "e" equivale ao símbolo de interseção, enquanto a conjunção "ou" corresponde ao simbolo de união. Dessa forma, [tex3]y=1[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]y=1[/tex3]

e [tex3]y=2[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]y=2[/tex3]

equivale a [tex3]\{1\}\cap\{2\}=\emptyset[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\{1\}\cap\{2\}=\emptyset[/tex3]

.

Im = [1] U [2]

Achei muuuito estranha. Nunca vi essa notação e, particularmente - e talvez seja o motivo de nunca a ter visto -, acho inadequado utilizar notação de intervalos para representar algo que não é um intervalo.

Im = {1} U {2}

Nada de errado, mas também acho um pouco estranha. Inadequada, talvez.

f(x) ∈ {1, 2}

Não é usual, mas acho melhor que a anterior.

f(x)= - 1 ou 2

Supondo que o hífen foi um erro de digitação, apesar de ser totalmente compreensível, a notação me parece um pouco informal demais.

b) f(x) = 5 se x < -3. -2x-2 se x ≥ -2

Im = (-∞, 2) ∪ [5]

Também estranha pelo uso de notação de intervalos para representar algo que não é um intervalo.

Im = (-∞, 2) ∪ {5}

Ganhou o segundo lugar.

Im = {y ∈ R | y < 2 ou y = 5}

Minha preferida.

Na verdade, eu utilizo os conectivos lógicos da lógica proposicional para conectar equações. Logo, se fosse eu respondendo de fato as questões, escreveria:

1) [tex3]Im(f)=\{y\in\mathbb{R}\ |\ y=1\vee y=2\}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]Im(f)=\{y\in\mathbb{R}\ |\ y=1\vee y=2\}[/tex3]

2) [tex3]Im(f)=\{y\in\mathbb{R}\ |\ y\leq2\vee y=5\}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]Im(f)=\{y\in\mathbb{R}\ |\ y\leq2\vee y=5\}[/tex3]

[tex3]\vee[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\vee[/tex3]

corresponde à conjunção "ou"
[tex3]\wedge[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\wedge[/tex3]

corresponde à conjunção "e"

Bem, no fim das contas, pelo menos no caso que você expôs, acho que é mais uma questão de qual notação é mais adequada do que qual é a notação correta. Como um professor corrigindo uma questão, eu aceitaria a maioria das opções. É claro que existem outras questões. Por exemplo, uma má notação pode trazer problemas futuros, inclusive para o desenvolvimento de um raciocínio que se apoie nela, mas acho que não precisamos chegar a tanto aqui.

[petras]

csmarcelo,

Grato csmarcelo. Quanto ao uso do e ou ou também concordo com você. Essa questão vi na internet através da resolução por vídeo onde foi usado o "e" mas também discordei do uso dele.

O uso do colchete para um valor unitário também nunca tinha visto mas pesquisando vi que é comum em outros países. Aqui o comum seria o uso de chaves.

[csmarcelo]

O uso do colchete para um valor unitário também nunca tinha visto mas pesquisando vi que é comum em outros países. Aqui o comum seria o uso de chaves.

Bom saber!

Essa questão vi na internet através da resolução por vídeo onde foi usado o "e" mas também discordei do uso dele.

Aí está errado mesmo. Seria como dizer que, se [tex3]x^2=4[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x^2=4[/tex3]

, então [tex3]x=2[/tex3]

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[tex3]x=2[/tex3]

e [tex3]x=-2[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x=-2[/tex3]

, o que não é possível. Sim, ambos são valores possíveis para [tex3]x[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x[/tex3]

, mas a incógnita não pode assumir ambos valores simultaneamente.

[petras]

csmarcelo,
Mas também concordo com você. Não usaria colchete para um conjunto unitário visto que o intervalo pede dois extremos. Prefiro a chave.