Ensino Médio ⇒ Equação logarítmica Tópico resolvido

[Afrodite]

[tex3]log_{3}x-log_{2}x>1[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]log_{3}x-log_{2}x>1[/tex3]

Resposta

---

[tex3]]0,3^{log_{2/3^2}}[[/tex3]

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[tex3]]0,3^{log_{2/3^2}}[[/tex3]

[Planck]

Olá Afrodite,

Acredito que possam ter resoluções melhores, mas uma forma que pensei foi a seguinte. Vou multiplicar todos os termos por [tex3]\log_{2}3[/tex3]

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[tex3]\log_{2}3[/tex3]

e usar a seguinte propriedade:

[tex3]\log_ca\cdot \log_bc=\log_ba[/tex3]

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[tex3]\log_ca\cdot \log_bc=\log_ba[/tex3]

Ou seja:

[tex3]\underbrace{\log_{3}x \cdot \log_{2}3}_{\log_{2}x}-\log_{2}x \cdot \log_{2}3 >1 \cdot \log_{2}3[/tex3]

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[tex3]\underbrace{\log_{3}x \cdot \log_{2}3}_{\log_{2}x}-\log_{2}x \cdot \log_{2}3 >1 \cdot \log_{2}3[/tex3]

[tex3]\log_{2}x-\log_{2}x \cdot \log_{2}3 >1 \cdot \log_{2}3[/tex3]

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[tex3]\log_{2}x-\log_{2}x \cdot \log_{2}3 >1 \cdot \log_{2}3[/tex3]

Podemos fatorar e obter:

[tex3]\log_{2}x \cdot (1 - \log_{2}3 )>1 \cdot \log_{2}3 \, \, \, \, \Rightarrow \, \, \, \, \log_2 x < \frac{\log_2 3}{(1 - \log_2 3)} \implies x < 2^{\frac{\log_2 3}{(1 - \log_2 3)}}[/tex3]

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[tex3]\log_{2}x \cdot (1 - \log_{2}3 )>1 \cdot \log_{2}3 \, \, \, \, \Rightarrow \, \, \, \, \log_2 x < \frac{\log_2 3}{(1 - \log_2 3)} \implies x < 2^{\frac{\log_2 3}{(1 - \log_2 3)}}[/tex3]

Podemos reescrever como:

[tex3]x < 2^{\frac{1}{(1 - \log_2 3)} \cdot \log_2 3} \, \, \, \, \Rightarrow \, \, \, \, x < 2 ^{\log_2 \left( 3^{\frac{1}{1- \log_2 3}}\right)} \implies x < 3^{\frac{1}{1- \log_2 3}}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x < 2^{\frac{1}{(1 - \log_2 3)} \cdot \log_2 3} \, \, \, \, \Rightarrow \, \, \, \, x < 2 ^{\log_2 \left( 3^{\frac{1}{1- \log_2 3}}\right)} \implies x < 3^{\frac{1}{1- \log_2 3}}[/tex3]

Mas, devemos lembrar da condição de existência do logaritmando:

[tex3]x > 0[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x > 0[/tex3]

Fazendo a intersecção, encontramos como conjunto solução:

[tex3]{\color{forestgreen}\boxed{x \in \left ] 0, ~3^{\frac{1}{1- \log_2 3}} \right[}}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]{\color{forestgreen}\boxed{x \in \left ] 0, ~3^{\frac{1}{1- \log_2 3}} \right[}}[/tex3]

[csmarcelo]

Arrebentou, Planck.