Ensino Médio ⇒ Combinação Tópico resolvido

[eumarccoss]

O valor de n que satisfaz a equação [tex3]\left(\frac{C_{3}^{2n}}{C_{2}^{n}}\right) = \frac{44}{3}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\left(\frac{C_{3}^{2n}}{C_{2}^{n}}\right) = \frac{44}{3}[/tex3]

é:


A) 6.
B) 7.
C) 8.
D) 9.
E) 10.

Pessoal, eu fui tentando fazer e cheguei na equação:

[tex3]\frac{3. 3!}{(2n)!. (3-2n)!} = \frac{44.2!}{(2-n)!.n!}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{3. 3!}{(2n)!. (3-2n)!} = \frac{44.2!}{(2-n)!.n!}[/tex3]

Não sei se está certo, mas se estiver não tenho a mínima ideia de como prosseguir no desenvolvimento

Resposta

---

A

[MateusQqMD]

E aí, Marcos

Eu vou tentar desenvolver as contas com calma e se aparecer alguma dúvida você avisa aí.

Expandido [tex3]\left(\frac{C_{3}^{2n}}{C_{2}^{n}}\right) = \frac{44}{3}, \, [/tex3]

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[tex3]\left(\frac{C_{3}^{2n}}{C_{2}^{n}}\right) = \frac{44}{3}, \, [/tex3]

temos:

[tex3]{\large\frac{ \frac{2n!}{3!(2n-3)!}}{\frac{n!}{2!(n-2)!}}} = \frac{44}{3}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]{\large\frac{ \frac{2n!}{3!(2n-3)!}}{\frac{n!}{2!(n-2)!}}} = \frac{44}{3}[/tex3]

[tex3]\frac{2n!}{3!(2n-3)!} \, \cdot \, \frac{2!(n-2)!}{n!} = \frac{44}{3}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{2n!}{3!(2n-3)!} \, \cdot \, \frac{2!(n-2)!}{n!} = \frac{44}{3}[/tex3]

[tex3]\frac{2n(2n-1)(2n-2)\cancel{(2n-3)!}}{3!\cancel{(2n-3)!}} \, \cdot \, \frac{2!\cancel{(n-2)!}}{n(n-1)\cancel{(n-2)!}} = \frac{44}{3}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{2n(2n-1)(2n-2)\cancel{(2n-3)!}}{3!\cancel{(2n-3)!}} \, \cdot \, \frac{2!\cancel{(n-2)!}}{n(n-1)\cancel{(n-2)!}} = \frac{44}{3}[/tex3]

[tex3]\frac{2n(2n-1)(2n-2)}{3!} \, \cdot \, \frac{2!}{n(n-1)} = \frac{44}{3}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{2n(2n-1)(2n-2)}{3!} \, \cdot \, \frac{2!}{n(n-1)} = \frac{44}{3}[/tex3]

[tex3]\frac{2n(2n-1)2\cancel{(n-1)}}{3!} \, \cdot \, \frac{2!}{n\cancel{(n-1)}} = \frac{44}{3}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{2n(2n-1)2\cancel{(n-1)}}{3!} \, \cdot \, \frac{2!}{n\cancel{(n-1)}} = \frac{44}{3}[/tex3]

[tex3]\frac{2n(2n-1)2}{3!} \, \cdot \, \frac{2!}{n} = \frac{44}{3}[/tex3]

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[tex3]\frac{2n(2n-1)2}{3!} \, \cdot \, \frac{2!}{n} = \frac{44}{3}[/tex3]

[tex3]3! \cdot n \cdot 44 = 2n(2n-1)2 \cdot 2! \cdot 3[/tex3]

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[tex3]3! \cdot n \cdot 44 = 2n(2n-1)2 \cdot 2! \cdot 3[/tex3]

[tex3]264n = 48n^2 - 24n \,\, \Rightarrow \,\, n(48n-288) = 0[/tex3]

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[tex3]264n = 48n^2 - 24n \,\, \Rightarrow \,\, n(48n-288) = 0[/tex3]

[tex3]n = \frac{288}{48} = 6.[/tex3]

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[tex3]n = \frac{288}{48} = 6.[/tex3]

[eumarccoss]

(C2n3Cn2)=443(C32nC2n)=443

Oii MateusQqMD, só apareceu uma dúvida na primeira equação da resolução KKKKKK O certo não seria o 3! ir para o numerador e o 2n para o denominador? E não compreendi pq você fez (2n-3)! no denominador da primeira equação sendo que o correto seria o inverso (3-2n)!

[MateusQqMD]

Então, Marcos. Isso meio que é um problema.

Há literaturas que mostram que a notação [tex3]C_n^p[/tex3]

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[tex3]C_n^p[/tex3]

é desenvolvida da seguinte forma: [tex3]\frac{n!}{p!(n-p)!}[/tex3]

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[tex3]\frac{n!}{p!(n-p)!}[/tex3]

Assim, [tex3]C_5^3, \, [/tex3]

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[tex3]C_5^3, \, [/tex3]

por exemplo, fica [tex3]\frac{5!}{3!(5-3)!} = 10.[/tex3]

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[tex3]\frac{5!}{3!(5-3)!} = 10.[/tex3]

Mas eu também já vi ser utilizado [tex3]\frac{p!}{n!(p-n)!}[/tex3]

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[tex3]\frac{p!}{n!(p-n)!}[/tex3]

para o desenvolvimento da mesma notação [tex3]C_n^p. [/tex3]

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[tex3]C_n^p. [/tex3]

O consenso que há é que o número maior, seja ele [tex3]n[/tex3]

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[tex3]n[/tex3]

ou [tex3]p, \,[/tex3]

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[tex3]p, \,[/tex3]

sempre aparece no numerador da fração. Nessa questão, por exemplo, caso façamos do primeiro modo mostrado, teríamos:

[tex3]{\large\frac{ \frac{3!}{(2n)!(3 - 2n)!}}{\frac{2!}{n!(2-n)!}}} = \frac{44}{3}[/tex3]

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[tex3]{\large\frac{ \frac{3!}{(2n)!(3 - 2n)!}}{\frac{2!}{n!(2-n)!}}} = \frac{44}{3}[/tex3]

Agora, veja que se [tex3]3 > 2n, \,[/tex3]

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[tex3]3 > 2n, \,[/tex3]

implica que [tex3]n < \frac{3}{2}, \,[/tex3]

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[tex3]n < \frac{3}{2}, \,[/tex3]

o que não gera nenhuma alternativa viável. Então, o enunciador queria que fosse utilizada a outra forma de desenvolvimento. Entende?

[eumarccoss]

MateusQqMD, MUITO OBRIGADO MESMO. Embora eu nunca tenha ouvido falar nessa possibilidade, inverti os valores como você falou e consegui chegar no resultado final levando sua conta como apoio. Obrigadoo