Ensino MédioFunção Exponencial e Logaritmos Tópico resolvido

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vicamandha
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Mai 2019 28 20:51

Função Exponencial e Logaritmos

Mensagem não lida por vicamandha »

Campanhas de prevenção levaram a incidência de certa doença a diminuir como uma função exponencial do tempo, caindo 84% em uma década.
Se preciso, utilizar [tex3]\sqrt[5]{2}[/tex3] = 1,15, [tex3]\sqrt[5]{5}[/tex3] = 1,38 e log de 5 na base 2 = 2,32.
Nessas condições, pode-se afirmar que, a cada ano, a incidência dessa doença diminuiu cerca de
A) 5% B) 8% C) 13% D) 17% E) 21%
Resposta

D
QUESTÃO 41
O tempo, até a incidência cair pela metade, é de, aproximadamente,
A) 2,5 anos. B) 3,8 anos. C) 4,4 anos. D) 5,6 anos. E) 6,2 anos.
Resposta

B




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Planck
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Mai 2019 29 12:14

Re: Função Exponencial e Logaritmos

Mensagem não lida por Planck »

Olá vicamandha,

Para o primeiro item, vamos precisar lembrar da forma da função exponencial:

[tex3]f(x) = k \cdot a^x[/tex3]

No contexto do exercício, podemos dizer que:

[tex3]n(t) = n_0 \cdot (1-i)^t[/tex3]

Onde, [tex3]n[/tex3] é o número de doentes, [tex3]n_0[/tex3] é o número inicial de doentes, [tex3]t[/tex3] é o tempo em anos e [tex3]i[/tex3] é taxa de redução que vamos procurar. Portanto, para o que foi considerado no enunciado, podemos dizer que:

[tex3]n(t) = n_0 \cdot (1-i)^t \iff \frac{100 - 84}{100} \cdot n_0 = n_0 \cdot (1-i)^{10} \Rightarrow \frac{16}{100} = (1-i)^{10}[/tex3]

Obtemos a seguinte expressão:

[tex3]\frac{16}{100} = (1-i)^{10}[/tex3]

Podemos simplificar para:

[tex3]\left(\frac{2}{5}\right)^2 = (1-i)^{10} \iff \sqrt[\cancel{10}]{\left(\frac{2}{5}\right)^\cancel{2} } = \sqrt[\cancel{10}]{(1-i)^{\cancel{10}}} \Rightarrow \sqrt[5]{\frac{2}{5}} = (1-i) [/tex3]

Disso, nós ainda podemos obter que:

[tex3]\frac{{\color{BurntOrange}\sqrt[5]{2}}}{{\color{BurntOrange}\sqrt[5]{5}}} = (1-i) \iff \frac{1,15}{1,38} = 1-i \Rightarrow 1 - 0,83 =i [/tex3]

Logo:

[tex3]{\color{forestgreen}\boxed{i = 0,17 \text{ ou } 17\%}}[/tex3]

Para o segundo item, vamos utilizar uma ideia análoga. Contudo, vamos precisar utilizar o logaritmo, observe:

[tex3]n(t) = n_0 \cdot (1-i)^t, \text{ com } n(t) = \frac{n_0}{2} \Rightarrow \frac{n_0}{2} = n_0 \cdot (1-0,17)^t[/tex3]

Fiz isso por causa do que foi pedido:
O tempo, até a incidência cair pela metade, é de, aproximadamente,
Desse modo:

[tex3]\frac{n_0}{2} = n_0 \cdot (1-0,17)^t \iff \frac{1}{2} = (0,83)^{t}[/tex3]

Podemos aplicar [tex3]\log _2[/tex3] em ambos lados e obter:

[tex3]\log _22^{-1} = \log_2(0,83)^{t} \iff -1 = t \cdot \log_2 \frac{83}{100} \Rightarrow -1 = t \cdot (\log_2 83 - \log_2 100 )[/tex3]

[tex3] -1 = t \cdot (\log_2 83 - \log_2 100 ) \Rightarrow -1 = t \cdot (\log_2 83 - \log _2 5^2 \cdot 2^2)[/tex3]

[tex3]-1 = t \cdot (\log_2 83 - \log _2 5^2 \cdot 2^2) \iff -1 = t \cdot [ \log_2 83 - ( 2\log_2 5 + 2\log_2)] [/tex3]

[tex3]-1 = t \cdot [ \log_2 83 - 6,64] [/tex3]

Nesse ponto, ainda estou procurando uma saída melhor, mas, no momento, precisei roubar na calculadora esse logaritmo:

[tex3]-1 = t \cdot [ 6,37 - 6,64] \Rightarrow -1 = -t \cdot 0,27 [/tex3]

Com isso, obtemos que:

[tex3]{\color{forestgreen} \boxed{t \approx 3,8 \text{ anos }}} [/tex3]

Última edição: Planck (Qua 29 Mai, 2019 12:17). Total de 2 vezes.



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