Ensino MédioRelações métricas no triângulo, IME/ITA nível 2 Tópico resolvido

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lookez
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Mai 2019 24 00:07

Relações métricas no triângulo, IME/ITA nível 2

Mensagem não lida por lookez »

No triângulo ABC, AM é mediana, e a razão dos ângulos B^AM e M^AC é 1/2. Prolonga-se AM até D, de forma que M está entre A e D, e BD é perpendicular a BA. Prove que AC = AD/2.

Não consegui provar sem "chutar" que alguns ângulos são 90º após fazer um desenho bom e ver o retângulo que aparece ligando-se todos os pontos dados, gostaria de uma demonstração.




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Ittalo25
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Re: Relações métricas no triângulo, IME/ITA nível 2

Mensagem não lida por Ittalo25 »

CC.png
CC.png (10.55 KiB) Exibido 1163 vezes
- Trace N ponto médio de AB, sendo assim MN é base média de ABC, ou seja [tex3]MN=\frac{AC}{2}[/tex3] e AC//MN.

Lei dos senos em AMN:

[tex3]\frac{AN}{sen(2x)} = \frac{MN}{sen(x)}[/tex3]
[tex3]\frac{\frac{AB}{2}}{sen(2x)} = \frac{\frac{AC}{2}}{sen(x)}[/tex3]
[tex3]AB = AC \cdot 2cos(x) [/tex3]

Relação trigonométrica no triângulo ABD:

[tex3]cos(x) = \frac{AB}{AD}[/tex3]
[tex3]cos(x) = \frac{AC \cdot 2cos(x)}{AD}[/tex3]
[tex3]\boxed {AD = 2AC}[/tex3]



Ninguém pode ser perfeito, mas todos podem ser melhores. [\Bob Esponja]

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