Ensino Médio ⇒ Geometria Analítica Tópico resolvido

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(EPUSP-47) Demonstrar que, num trapézio, os pontos médios das bases, a intersecção das diagonais e o ponto de intersecção dos lados não paralelos são colineares.

Alguém poderia me ajudar? Não sei nem por onde começar. Também não entendi muito bem o que seriam os pontos médios da base e a interseção dos lados não paralelos (esse eu não faço a mínima ideia do que seria).

[Ittalo25]

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- Pontos médios das bases: C e F
- Intersecção das diagonais: G
- Intersecção dos lados não paralelos: H

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Reta que passa por A e E: [tex3]dy - cx = 0 [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]dy - cx = 0 [/tex3]

Reta que passa por B e D: [tex3](a-b)y+cx-ac = 0 [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3](a-b)y+cx-ac = 0 [/tex3]

Assim, o ponto G é a intersecção dessas retas: [tex3]G \left(\frac{ad}{a-b+d} , \frac{ac}{a-b+d}\right) [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]G \left(\frac{ad}{a-b+d} , \frac{ac}{a-b+d}\right) [/tex3]

Reta que passa por A e D: [tex3]by - cx = 0 [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]by - cx = 0 [/tex3]

Reta que passa por B e E: [tex3](a-d)y + cx -ac= 0 [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3](a-d)y + cx -ac= 0 [/tex3]

Assim, o ponto H é a intersecção dessas retas: [tex3]H \left(\frac{ab}{a-d+b} , \frac{ac}{a-d+b}\right) [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]H \left(\frac{ab}{a-d+b} , \frac{ac}{a-d+b}\right) [/tex3]

Obviamente o ponto F é [tex3]\left(\frac{b+d}{2} , c\right) [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\left(\frac{b+d}{2} , c\right) [/tex3]

Agora é fazer o determinante e ver se dá igual a zero, se der então os pontos são colineares. Agora se C,G e F são colineares e G,F e H são colineares, então C,G,F,H são colineares.

Determinante de C,G e F: [tex3]\begin{vmatrix} \frac{a}{2} &0&1\\\frac{ad}{a-b+d}& \frac{ac}{a-b+d}&1\\\frac{b+d}{2}&c&1\end{vmatrix}=0[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\begin{vmatrix} \frac{a}{2} &0&1\\\frac{ad}{a-b+d}& \frac{ac}{a-b+d}&1\\\frac{b+d}{2}&c&1\end{vmatrix}=0[/tex3]

Determinante de G, F e H: [tex3]\begin{vmatrix} \frac{ab}{a-d+b} & \frac{ac}{a-d+b}&1\\\frac{ad}{a-b+d}& \frac{ac}{a-b+d}&1\\\frac{b+d}{2}&c&1\end{vmatrix}=0[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\begin{vmatrix} \frac{ab}{a-d+b} & \frac{ac}{a-d+b}&1\\\frac{ad}{a-b+d}& \frac{ac}{a-b+d}&1\\\frac{b+d}{2}&c&1\end{vmatrix}=0[/tex3]

então C,G,F,H são colineares, conforme diz a questão.