Ensino Médio ⇒ binômio de newton Tópico resolvido

[vitorsl123]

O coeficiente de [tex3]x^{6}[/tex3]

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[tex3]x^{6}[/tex3]

no desenvolvimento de [tex3](\ 2x + \frac{1}{x^{2}})^{3}[/tex3]

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[tex3](\ 2x + \frac{1}{x^{2}})^{3}[/tex3]

.[tex3](x^{2} + \frac{1}{2x})^{3}[/tex3]

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[tex3](x^{2} + \frac{1}{2x})^{3}[/tex3]

é

[vitorsl123]

alquém pode fazer esta questão?

[MateusQqMD]

Olá, Vitor

O termo geral do desenvolvimento é:

[tex3]T(p,q) = C_3^p (2x)^p \(\frac{ 1 }{ x^2 } \)^{3-p} \, \cdot \, C_3^q (x^2)^q \(\frac{ 1 }{ 2x } \)^{3-q} = C_3^p C_3^q 2^{p+q-3}x^{3p + 3q - 9 }[/tex3]

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[tex3]T(p,q) = C_3^p (2x)^p \(\frac{ 1 }{ x^2 } \)^{3-p} \, \cdot \, C_3^q (x^2)^q \(\frac{ 1 }{ 2x } \)^{3-q} = C_3^p C_3^q 2^{p+q-3}x^{3p + 3q - 9 }[/tex3]

Como queremos o termo em [tex3]x^6, \,[/tex3]

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[tex3]x^6, \,[/tex3]

é necessário que [tex3]3p + 3q - 9 = 6, \,[/tex3]

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[tex3]3p + 3q - 9 = 6, \,[/tex3]

com [tex3]0 \leq p, \, q\leq 3[/tex3]

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[tex3]0 \leq p, \, q\leq 3[/tex3]

Daí,

[tex3]p = 2 \, \implies \, q = 3[/tex3]

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[tex3]p = 2 \, \implies \, q = 3[/tex3]

[tex3]p = 3 \, \implies \, q = 2[/tex3]

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[tex3]p = 3 \, \implies \, q = 2[/tex3]

Logo, os termos são [tex3]T(2,3) = C_3^2 C_3^3 2^{2}x^{6} = 12x^6[/tex3]

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[tex3]T(2,3) = C_3^2 C_3^3 2^{2}x^{6} = 12x^6[/tex3]

e [tex3]T(3,2) = C_3^3 C_3^2 2^{2}x^{6} = 12x^6[/tex3]

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[tex3]T(3,2) = C_3^3 C_3^2 2^{2}x^{6} = 12x^6[/tex3]

A reposta é [tex3]24.[/tex3]

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[tex3]24.[/tex3]