Ensino Médio ⇒ Polinômio de Leibniz Tópico resolvido

[RinaldoEN19]

Calcular o coeficiente de [tex3]x^{3}[/tex3]

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[tex3]x^{3}[/tex3]

no desenvolvimento de ( 1+3x+2 [tex3]x^{3})[/tex3]

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[tex3]x^{3})[/tex3]

^19

Resposta

---

estou achando 26201 , mas o gabarito está 28215

[MateusQqMD]

E aí, Rinaldo. Acredito que o seu gabarito esteja errado mesmo. O termo geral do desenvolvimento de [tex3](1+3x + 2x^3)^{19}[/tex3]

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[tex3](1+3x + 2x^3)^{19}[/tex3]

é dado por:

[tex3]G = \frac{19!}{a!b!c!}(1)^a(3x)^b(2x^3)^c \,\,\, \Rightarrow \,\,\, G = \frac{19!}{a!b!c!} 1^a3^b2^cx^{b + 3c}, \, \,a + b +c = 19 \, [/tex3]

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[tex3]G = \frac{19!}{a!b!c!}(1)^a(3x)^b(2x^3)^c \,\,\, \Rightarrow \,\,\, G = \frac{19!}{a!b!c!} 1^a3^b2^cx^{b + 3c}, \, \,a + b +c = 19 \, [/tex3]

e [tex3]\, a, \,\, b, \,\, c \, \in \,\mathbb{N}.[/tex3]

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[tex3]\, a, \,\, b, \,\, c \, \in \,\mathbb{N}.[/tex3]

Como queremos obter o termo em [tex3]x^3, \,[/tex3]

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[tex3]x^3, \,[/tex3]

a condição é que [tex3]b + 3c = 3.[/tex3]

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[tex3]b + 3c = 3.[/tex3]

Daí, as soluções possíveis são:

[tex3]\begin{array}{|rr|cc|cc|cc|}
\hline a && b && c && \text{Termo} \\
\hline 18 && 0 && 1 && \frac{19!}{a!b!c!} 1^a3^b2^cx^{3} = \frac{19!}{18!0!1!} 1^{18}3^02^1x^3 = 38x^3 \\
16 && 3 && 0 && \frac{19!}{a!b!c!} 1^a3^b2^cx^{3} = \frac{19!}{16!3!0!} 1^{16}3^32^0x^3 = 26163x^3 \\
\hline
\end{array}[/tex3]

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[tex3]\begin{array}{|rr|cc|cc|cc|}
\hline a && b && c && \text{Termo} \\
\hline 18 && 0 && 1 && \frac{19!}{a!b!c!} 1^a3^b2^cx^{3} = \frac{19!}{18!0!1!} 1^{18}3^02^1x^3 = 38x^3 \\
16 && 3 && 0 && \frac{19!}{a!b!c!} 1^a3^b2^cx^{3} = \frac{19!}{16!3!0!} 1^{16}3^32^0x^3 = 26163x^3 \\
\hline
\end{array}[/tex3]

Somando, o termo em [tex3]x^3[/tex3]

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[tex3]x^3[/tex3]

do desenvolvimento é [tex3]26201x^3.[/tex3]

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[tex3]26201x^3.[/tex3]