Ensino Médio ⇒ Equação Funcional de Cauchy Tópico resolvido

[MateusQqMD]

Uma função [tex3]f: \mathbb{Q} \to \mathbb{R}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]f: \mathbb{Q} \to \mathbb{R}[/tex3]

satisfaz [tex3]f(x+y) = f(x) + f(y), \forall \, x, \, y \in \mathbb{Q}.[/tex3]

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[tex3]f(x+y) = f(x) + f(y), \forall \, x, \, y \in \mathbb{Q}.[/tex3]

Mostre que [tex3]f(x) = f(1) \cdot x, \, \forall x \in \mathbb{Q}[/tex3]

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[tex3]f(x) = f(1) \cdot x, \, \forall x \in \mathbb{Q}[/tex3]

[snooplammer]

A demonstração é um pouco longa, se ninguém fizer, mais tarde eu posto

[Auto Excluído (ID:12031)]

eu queria que ficasse fixa na area de demonstrações, porque essas equações funcionais de Cauchy são muito comuns.

viewtopic.php?f=20&t=43799&p=137269&hil ... 3o#p137269

[MateusQqMD]

Valeu! Não tinha me ligado de usar indução pra chegar naquilo ali.

[Auto Excluído (ID:12031)]

Valeu! Não tinha me ligado de usar indução pra chegar naquilo ali.

o jeito que eu usei naquela pergunta foi diferente do tradicional, pois já sabia que [tex3]f(1)=1[/tex3]

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[tex3]f(1)=1[/tex3]

o que se faz geralmente é provar por indução que:

[tex3]f(n) = n \cdot f(1)[/tex3]

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[tex3]f(n) = n \cdot f(1)[/tex3]

repare que é trivialmente verdade para [tex3]n=1[/tex3]

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[tex3]n=1[/tex3]

e que [tex3]f(n+1) = f(n) + f(1)[/tex3]

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[tex3]f(n+1) = f(n) + f(1)[/tex3]

enfim as provas dessas funções se dão por indução e acho que seria legal ter uma página demonstrando como resolver essas equações funcionais de Cauchy

[MateusQqMD]

o jeito que eu usei naquela pergunta foi diferente do tradicional, pois já sabia que [tex3]f(1)=1[/tex3]

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[tex3]f(1)=1[/tex3]

o que se faz geralmente é provar por indução que:

[tex3]f(n) = n \cdot f(1)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]f(n) = n \cdot f(1)[/tex3]

repare que é trivialmente verdade para [tex3]n=1[/tex3]

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[tex3]n=1[/tex3]

e que [tex3]f(n+1) = f(n) + f(1)[/tex3]

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[tex3]f(n+1) = f(n) + f(1)[/tex3]

Pois é, vi lá.

enfim as provas dessas funções se dão por indução e acho que seria legal ter uma página demonstrando como resolver essas equações funcionais de Cauchy

Concordo! Estaremos esperando seu tópico hahaha

[Auto Excluído (ID:12031)]

Concordo! Estaremos esperando seu tópico hahaha

hahahaha um dia talvez

[Auto Excluído (ID:12031)]

Tá aqui por enquanto vou deixar assim, acho que está bom o suficiente. Apesar de poder ser mais completo.

Vou deixar aqui a prova de que quando ela é limitada num intervalo ela é linear:

Se [tex3]f[/tex3]

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[tex3]f[/tex3]

é limitada num intervalo [tex3][x_1,x_2][/tex3]

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[tex3][x_1,x_2][/tex3]

qualquer então podemos tomar [tex3]q[/tex3]

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[tex3]q[/tex3]

racional em [tex3][-x_2,-x_1][/tex3]

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[tex3][-x_2,-x_1][/tex3]

tal que [tex3]0 \in [x_1+q,x_2+q][/tex3]

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[tex3]0 \in [x_1+q,x_2+q][/tex3]

e então [tex3]f[/tex3]

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[tex3]f[/tex3]

é limitada em um intervalo que contém o zero e portanto [tex3]f[/tex3]

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[tex3]f[/tex3]

é limitada em um intervalo da forma [tex3][-a,a], a>0[/tex3]

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[tex3][-a,a], a>0[/tex3]

seja [tex3]0 < M \in \mathbb N[/tex3]

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[tex3]0 < M \in \mathbb N[/tex3]

e [tex3]|f(x)| < M, \forall x \in [-a,a][/tex3]

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[tex3]|f(x)| < M, \forall x \in [-a,a][/tex3]

e [tex3]0< N \in \mathbb N[/tex3]

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[tex3]0< N \in \mathbb N[/tex3]

um natural tal que [tex3]\frac M N < \epsilon[/tex3]

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[tex3]\frac M N < \epsilon[/tex3]

então tome [tex3]\delta = \frac a N[/tex3]

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[tex3]\delta = \frac a N[/tex3]

e teremos:

[tex3]|x| < \delta \iff |x| < \frac {a}{N} \iff N |x| < a \implies f(N|x|) < M \iff N \cdot f(|x|) < M \iff f(|x|) < \epsilon[/tex3]

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[tex3]|x| < \delta \iff |x| < \frac {a}{N} \iff N |x| < a \implies f(N|x|) < M \iff N \cdot f(|x|) < M \iff f(|x|) < \epsilon[/tex3]

portanto [tex3]f[/tex3]

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[tex3]f[/tex3]

é contínua em [tex3]x=0[/tex3]

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[tex3]x=0[/tex3]

e então das condições provadas no outro tópico temos que [tex3]f[/tex3]

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[tex3]f[/tex3]

é linear.

[Auto Excluído (ID:12031)]

tem como eu dar uma última editada no tópico de demonstrações? Ficou faltando essa prova de cima e ajustar a formatação

[MateusQqMD]

Manda mensagem priva para o caju/algum moderador e pede para moverem o tópico para alguma outra área, daí acredito que você vai conseguir editar.