Tá aqui por enquanto vou deixar assim, acho que está bom o suficiente. Apesar de poder ser mais completo.
Vou deixar aqui a prova de que quando ela é limitada num intervalo ela é linear:
Se [tex3]f[/tex3]
é limitada num intervalo [tex3][x_1,x_2][/tex3]
qualquer então podemos tomar [tex3]q[/tex3]
racional em [tex3][-x_2,-x_1][/tex3]
tal que [tex3]0 \in [x_1+q,x_2+q][/tex3]
e então [tex3]f[/tex3]
é limitada em um intervalo que contém o zero e portanto [tex3]f[/tex3]
é limitada em um intervalo da forma [tex3][-a,a], a>0[/tex3]
seja [tex3]0 < M \in \mathbb N[/tex3]
e [tex3]|f(x)| < M, \forall x \in [-a,a][/tex3]
e [tex3]0< N \in \mathbb N[/tex3]
um natural tal que [tex3]\frac M N < \epsilon[/tex3]
então tome [tex3]\delta = \frac a N[/tex3]
e teremos:
[tex3]|x| < \delta \iff |x| < \frac {a}{N} \iff N |x| < a \implies f(N|x|) < M \iff N \cdot f(|x|) < M \iff f(|x|) < \epsilon[/tex3]
portanto [tex3]f[/tex3]
é contínua em [tex3]x=0[/tex3]
e então das condições provadas no outro tópico temos que [tex3]f[/tex3]
é linear.