Ensino Médio

Considere a função f: N* → N, definida por:

3n + 1, se n é ímpar
f(n) =
n/2 , se n é par

Na conjectura conhecida como problema de Collatz (1910 – 1990), se uma pessoa aplicar a função f sobre qualquer número natural não nulo e repetir sobre cada resultado obtido, em algum momento chegará a 1 como resultado. Considere, agora, a sequência numérica (a1, a2, a3, ..., an ,) definida por: a1 = 12 e an = f(an-1)

Em relação a essa sequência, analise as afirmativas seguintes:

I. A soma de seus quatro primeiros termos é igual a 43.

II. O seu décimo termo é igual a 1.

III. É uma sequência crescente.

IV. A subsequência finita (a6, a7, a8, a9, a10) cujos termos ordenados são da sequência (an) é uma progressão geométrica de razão 0,5.

Estão CORRETAS apenas

II e IV.

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I)

[tex3]a_1=12[/tex3]
[tex3]a_2=12/2=6[/tex3]
[tex3]a_3=6/2=3[/tex3]
[tex3]a_4=3\cdot3+1=10[/tex3]

Logo, a soma é igual a 31.

II)

[tex3]a_5=10/2=5[/tex3]
[tex3]a_6=3\cdot5+1=16[/tex3]
[tex3]a_7=16/2=8[/tex3]
[tex3]a_8=8/2=4[/tex3]
[tex3]a_9=4/2=2[/tex3]
[tex3]a_{10}=2/2=1[/tex3]

III)

[tex3]a_2<a_1[/tex3]
[tex3]a_4>a_3[/tex3]

Logo, a sequência não é nem crescente nem decrescente.

IV)

Basta analisar os termos calculados em (II) e ver que é verdade.

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