Ensino Médio ⇒ lados do quadrado e octágono

[mariaduarte]

Um quadrado e octógono regular estão inscritos em uma circunferência de centro O. Determine a razão entre a medida do lado do quadrado e a medida do lado do octógono.

[csmarcelo]

Se um polígono regular, inscrito em uma circunferência de raio [tex3]r[/tex3]

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[tex3]r[/tex3]

, possui [tex3]n[/tex3]

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[tex3]n[/tex3]

lados, então o ângulo central determinado por dois vértices adjacentes do polígono mede [tex3]\frac{360}{n}[/tex3]

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[tex3]\frac{360}{n}[/tex3]

graus.

Se os lados desse polígono medem [tex3]l[/tex3]

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[tex3]l[/tex3]

, então, pela lei dos cossenos:

[tex3]l^2=2r^2-2r^2\cdot\cos\frac{2\pi}{n}[/tex3]

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[tex3]l^2=2r^2-2r^2\cdot\cos\frac{2\pi}{n}[/tex3]

Daí

[tex3]l=r\sqrt{2\(1-\cos\frac{2\pi}{n}\)}[/tex3]

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[tex3]l=r\sqrt{2\(1-\cos\frac{2\pi}{n}\)}[/tex3]

Assim, se temos dois polígonos, um com [tex3]n_1[/tex3]

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[tex3]n_1[/tex3]

lados e outro com [tex3]n_2[/tex3]

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[tex3]n_2[/tex3]

lados, inscritos em uma mesma circunferência, a razão entre a medida dos lados do primeiro e a do segundo, é igual a

[tex3]\frac{r\sqrt{2\(1-\cos\frac{2\pi}{n_1}\)}}{r\sqrt{2\(1-\cos\frac{2\pi}{n_2}\)}}=\sqrt{\frac{1-\cos\frac{2\pi}{n_1}}{1-\cos\frac{2\pi}{n_2}}}[/tex3]

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[tex3]\frac{r\sqrt{2\(1-\cos\frac{2\pi}{n_1}\)}}{r\sqrt{2\(1-\cos\frac{2\pi}{n_2}\)}}=\sqrt{\frac{1-\cos\frac{2\pi}{n_1}}{1-\cos\frac{2\pi}{n_2}}}[/tex3]

Então, no nosso caso, a razão é

[tex3]\sqrt{\frac{1-\cos\frac{2\pi}{4}}{1-\cos\frac{2\pi}{8}}}=\sqrt{\frac{1-\cos\frac{\pi}{2}}{1-\cos\frac{\pi}{4}}}=\sqrt{\frac{1-0}{1-\frac{\sqrt{2}}{2}}}=\sqrt{2+\sqrt{2}}[/tex3]

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[tex3]\sqrt{\frac{1-\cos\frac{2\pi}{4}}{1-\cos\frac{2\pi}{8}}}=\sqrt{\frac{1-\cos\frac{\pi}{2}}{1-\cos\frac{\pi}{4}}}=\sqrt{\frac{1-0}{1-\frac{\sqrt{2}}{2}}}=\sqrt{2+\sqrt{2}}[/tex3]

[mariaduarte]

obrigada vou continuar tentando

[csmarcelo]

mariaduarte, ficou alguma dúvida quanto a minha resolução?