/garoto_cabelo_loiro.png)
Resposta
P(8/5, 4/5)
Ensino Médio ⇒ Geometria Analítica - Pontos simétricos Tópico resolvido
Moderador: [ Moderadores TTB ]
Abr 2019
18
12:20
Geometria Analítica - Pontos simétricos
Em um sistema cartesiano ortogonal xOy são dados os pontos A, sobre Ox de abscissa +1, e B, sobre Oy de ordenada +2. Calcular as coordenadas do ponto P simétrico de origem O em relação à reta AB.
P(8/5, 4/5)
P(8/5, 4/5)
Ad astra!
Abr 2019
19
16:49
Re: Geometria Analítica - Pontos simétricos
Olá mleonardo,
Inicialmente, podemos construir a reta que passa pelos pontos considerados. Nesse contexto, ela será do tipo:
[tex3]f(x)=a\cdot x + b[/tex3]
O [tex3]b[/tex3] está fácil de encontrar, é o ponto cujo a reta intersecta no eixo [tex3]y,[/tex3] ou seja:
[tex3]f(x)=a\cdot x + 2[/tex3]
Para [tex3]a,[/tex3] podemos igualar a equação a zero e substituir o [tex3]x:[/tex3]
[tex3]0=a\cdot 1 + 2[/tex3]
[tex3]a=-2[/tex3]
A equação da reta é:
[tex3]f(x)=-2 \cdot x + 2[/tex3]
Agora, podemos encontrar a reta perpendicular a essa, que passará pela origem. Sabemos que o produto entre os coeficiente angulares é igual a [tex3]-1,[/tex3] portanto:
[tex3]m_1 \cdot m_2 = -1[/tex3]
[tex3]-2 \cdot m_2 = -1[/tex3]
[tex3]m_2 =\frac{1}{2}[/tex3]
A nossa reta perpendicular é:
[tex3]g(x)=\frac{1}{2} \cdot x[/tex3]
Igualando as retas, vamos ter o ponto médio da distância que queremos:
[tex3]f(x)=g(x)[/tex3]
[tex3]-2 \cdot x +2 = \frac{1}{2} \cdot x[/tex3]
[tex3]2 = \frac{1}{2} \cdot x+2 \cdot x[/tex3]
Multiplicando todos os termos por [tex3]2.[/tex3]
[tex3]4 = x+4 \cdot x[/tex3]
[tex3]x=\frac{4}{5}[/tex3]
Essa é abcissa do ponto médio. Com isso, podemos substituir esse valor em qualquer uma das equações das retas que encontramos e obter a ordenada. Substituindo na segunda:
[tex3]y=\frac{1}{2} \cdot x[/tex3]
[tex3]y=\frac{1}{2} \cdot \frac{4}{5}[/tex3]
[tex3]y = \frac{2}{5}[/tex3]
Esse é o ponto médio. Para encontrarmos o ponto simétrico a origem, basta dobrar as coordenadas que encontramos:
[tex3]P \left( 2\cdot \frac{4}{5}, \; 2 \cdot \frac{2}{5} \right)[/tex3]
[tex3]{\color{forestgreen}\boxed{P \left( \frac{8}{5}, \; \frac{4}{5} \right)}}[/tex3]
O que fizemos:
Inicialmente, podemos construir a reta que passa pelos pontos considerados. Nesse contexto, ela será do tipo:
[tex3]f(x)=a\cdot x + b[/tex3]
O [tex3]b[/tex3] está fácil de encontrar, é o ponto cujo a reta intersecta no eixo [tex3]y,[/tex3] ou seja:
[tex3]f(x)=a\cdot x + 2[/tex3]
Para [tex3]a,[/tex3] podemos igualar a equação a zero e substituir o [tex3]x:[/tex3]
[tex3]0=a\cdot 1 + 2[/tex3]
[tex3]a=-2[/tex3]
A equação da reta é:
[tex3]f(x)=-2 \cdot x + 2[/tex3]
Agora, podemos encontrar a reta perpendicular a essa, que passará pela origem. Sabemos que o produto entre os coeficiente angulares é igual a [tex3]-1,[/tex3] portanto:
[tex3]m_1 \cdot m_2 = -1[/tex3]
[tex3]-2 \cdot m_2 = -1[/tex3]
[tex3]m_2 =\frac{1}{2}[/tex3]
A nossa reta perpendicular é:
[tex3]g(x)=\frac{1}{2} \cdot x[/tex3]
Igualando as retas, vamos ter o ponto médio da distância que queremos:
[tex3]f(x)=g(x)[/tex3]
[tex3]-2 \cdot x +2 = \frac{1}{2} \cdot x[/tex3]
[tex3]2 = \frac{1}{2} \cdot x+2 \cdot x[/tex3]
Multiplicando todos os termos por [tex3]2.[/tex3]
[tex3]4 = x+4 \cdot x[/tex3]
[tex3]x=\frac{4}{5}[/tex3]
Essa é abcissa do ponto médio. Com isso, podemos substituir esse valor em qualquer uma das equações das retas que encontramos e obter a ordenada. Substituindo na segunda:
[tex3]y=\frac{1}{2} \cdot x[/tex3]
[tex3]y=\frac{1}{2} \cdot \frac{4}{5}[/tex3]
[tex3]y = \frac{2}{5}[/tex3]
Esse é o ponto médio. Para encontrarmos o ponto simétrico a origem, basta dobrar as coordenadas que encontramos:
[tex3]P \left( 2\cdot \frac{4}{5}, \; 2 \cdot \frac{2}{5} \right)[/tex3]
[tex3]{\color{forestgreen}\boxed{P \left( \frac{8}{5}, \; \frac{4}{5} \right)}}[/tex3]
O que fizemos:
- Geogebra online (33).png (42.84 KiB) Exibido 4429 vezes
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Cardoso1979 
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Abr 2019
19
17:03
Re: Geometria Analítica - Pontos simétricos
Observe
Uma solução:
A figura a seguir apresenta o fato geométrico indicado pelo problema
O ponto P é o simétrico de O em relação à reta r; logo , a reta s é perpendicular à reta r.
Cálculo de [tex3]m_{1}[/tex3] , coeficiente angular da reta r:
[tex3]m_{1}=\frac{y_{B}-y_{A}}{x_{B}-x_{A}}=\frac{2-0}{0-1}[/tex3]
[tex3]m_{1}[/tex3] = - 2
Tomando o ponto A( 1 , 0 ), vem;
[tex3]y-y_{o}=m_{1}.( x - x_{o})[/tex3]
y - 0 = - 2.( x - 1 )
r : 2x + y = 2
Cálculo de [tex3]m_{2}[/tex3] , coeficiente angular da reta s que contém [tex3]\overline{OP}[/tex3] :
[tex3]m_{1}=-\frac{1}{m_{2}}→-2=-\frac{1}{m_{2}}\therefore m_{2}=\frac{1}{2}[/tex3]
Equação da reta s que passa por O( 0 , 0 ):
y - 0 = [tex3]\frac{1}{2}[/tex3] .( x - 0 )
y = [tex3]\frac{x}{2}[/tex3]
s : x - 2y = 0
Vamos agora encontrar as coordenadas do ponto M( ponto médio, ver figura ), intersecção das retas r e s:
[tex3]\begin{cases}
x-2y=0 \\
2x+y=2 \ ×(2)
\end{cases}[/tex3]
[tex3]\begin{cases}
x\cancel{-2y}=0 \\
4x\cancel{+2y}=4
\end{cases}[/tex3]
--------------------------------
5x = 4
x = [tex3]\frac{4}{5}[/tex3] , daí y =[tex3]\frac{2}{5}[/tex3]
Logo, M [tex3]\left(\frac{4}{5},\frac{2}{5}\right)[/tex3] .
Coordenadas do ponto P( x , y ):
[tex3]x_{M}=\frac{x_{O}+x_{P}}{2}[/tex3]
[tex3]\frac{4}{5}=\frac{0+x_{P}}{2}[/tex3]
[tex3]x_{P}=\frac{8}{5}[/tex3]
Ainda;
[tex3]y_{M}=\frac{y_{O}+y_{P}}{2}[/tex3]
[tex3]\frac{2}{5}=\frac{0+y_{P}}{2}[/tex3]
[tex3]y_{P}=\frac{4}{5}[/tex3]
Portanto, o simétrico de O , em relação às reta r, é P [tex3]\left(\frac{8}{5},\frac{4}{5}\right)[/tex3]
Bons estudos!
Uma solução:
A figura a seguir apresenta o fato geométrico indicado pelo problema
- 15557041416165096270944829274151.jpg (36.79 KiB) Exibido 4428 vezes
O ponto P é o simétrico de O em relação à reta r; logo , a reta s é perpendicular à reta r.
Cálculo de [tex3]m_{1}[/tex3] , coeficiente angular da reta r:
[tex3]m_{1}=\frac{y_{B}-y_{A}}{x_{B}-x_{A}}=\frac{2-0}{0-1}[/tex3]
[tex3]m_{1}[/tex3] = - 2
Tomando o ponto A( 1 , 0 ), vem;
[tex3]y-y_{o}=m_{1}.( x - x_{o})[/tex3]
y - 0 = - 2.( x - 1 )
r : 2x + y = 2
Cálculo de [tex3]m_{2}[/tex3] , coeficiente angular da reta s que contém [tex3]\overline{OP}[/tex3] :
[tex3]m_{1}=-\frac{1}{m_{2}}→-2=-\frac{1}{m_{2}}\therefore m_{2}=\frac{1}{2}[/tex3]
Equação da reta s que passa por O( 0 , 0 ):
y - 0 = [tex3]\frac{1}{2}[/tex3] .( x - 0 )
y = [tex3]\frac{x}{2}[/tex3]
s : x - 2y = 0
Vamos agora encontrar as coordenadas do ponto M( ponto médio, ver figura ), intersecção das retas r e s:
[tex3]\begin{cases}
x-2y=0 \\
2x+y=2 \ ×(2)
\end{cases}[/tex3]
[tex3]\begin{cases}
x\cancel{-2y}=0 \\
4x\cancel{+2y}=4
\end{cases}[/tex3]
--------------------------------
5x = 4
x = [tex3]\frac{4}{5}[/tex3] , daí y =[tex3]\frac{2}{5}[/tex3]
Logo, M [tex3]\left(\frac{4}{5},\frac{2}{5}\right)[/tex3] .
Coordenadas do ponto P( x , y ):
[tex3]x_{M}=\frac{x_{O}+x_{P}}{2}[/tex3]
[tex3]\frac{4}{5}=\frac{0+x_{P}}{2}[/tex3]
[tex3]x_{P}=\frac{8}{5}[/tex3]
Ainda;
[tex3]y_{M}=\frac{y_{O}+y_{P}}{2}[/tex3]
[tex3]\frac{2}{5}=\frac{0+y_{P}}{2}[/tex3]
[tex3]y_{P}=\frac{4}{5}[/tex3]
Portanto, o simétrico de O , em relação às reta r, é P [tex3]\left(\frac{8}{5},\frac{4}{5}\right)[/tex3]
Bons estudos!
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Cardoso1979
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Abr 2019
19
17:07
Re: Geometria Analítica - Pontos simétricos
O colega Planck, foi mais rápido , outra vez havia acontecido isso com outro usuário, kkkkkkkk
Abr 2019
19
17:08
Re: Geometria Analítica - Pontos simétricos
Mas sua resolução está bem completa! É bom para ter uma visão mais detalhada do que foi feito.Cardoso1979 escreveu: ↑Sex 19 Abr, 2019 17:07O colega Planck, foi mais rápido , outra vez havia acontecido isso com outro usuário, kkkkkkkk
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