Ensino Médio ⇒ Números de pessoas. Tópico resolvido
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paulo testoni 
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Mar 2019
19
13:18
Números de pessoas.
Estavam em um restaurante, 18 pessoas. Os homens gastaram 250,00 e as mulheres 160,00. Cada homem gastou 5,00 a mais que cada mulher. Quantos homens e quantas mulheres tinham no restaurante?
Paulo Testoni
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MateusQqMD 
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Mar 2019
19
13:48
Re: Números de pessoas.
Olá, Paulo
Sejam [tex3]x[/tex3] e [tex3]y[/tex3] a quantidade de homens e de mulheres, respectivamente. Tome, ainda, [tex3]z[/tex3] como a quantidade que cada mulher gastou. Esquematizando as informações do enunciado, temos
[tex3]\begin{cases}
x + y = 18 \quad (1)\\
y \cdot z = 160 \quad (2) \\
x \cdot (z+5) = 250 \quad (3)
\end{cases}[/tex3]
De [tex3](2)[/tex3] e [tex3](3)[/tex3] , temos que [tex3]y = \frac{160}{z}[/tex3] e [tex3]x = \frac{250}{z + 5}[/tex3] . Substituindo essas informações em (1), obtemos [tex3]z = 20[/tex3] . Daí, [tex3]y = 8[/tex3]
Sejam [tex3]x[/tex3] e [tex3]y[/tex3] a quantidade de homens e de mulheres, respectivamente. Tome, ainda, [tex3]z[/tex3] como a quantidade que cada mulher gastou. Esquematizando as informações do enunciado, temos
[tex3]\begin{cases}
x + y = 18 \quad (1)\\
y \cdot z = 160 \quad (2) \\
x \cdot (z+5) = 250 \quad (3)
\end{cases}[/tex3]
De [tex3](2)[/tex3] e [tex3](3)[/tex3] , temos que [tex3]y = \frac{160}{z}[/tex3] e [tex3]x = \frac{250}{z + 5}[/tex3] . Substituindo essas informações em (1), obtemos [tex3]z = 20[/tex3] . Daí, [tex3]y = 8[/tex3]
"Como sou pouco e sei pouco, faço o pouco que me cabe me dando por inteiro."
Mar 2019
19
13:53
Re: Números de pessoas.
Olá paulo testoni,
A solução do MateusQqMD é mais rápida. Encontrei esse outro modo.
Inicialmente, montei um sistema:
[tex3]\begin{cases}
\text{homens}+\text{mulheres}=18 \\
\frac{\$250}{\text{homens}}=\frac{\$160}{\text{mulheres}}+5
\end{cases}[/tex3]
Isso pois, se dividirmos o preço total pago pelos homens, pela quantidade de homens no restaurante, teremos quanto foi pago por cada homem, que foi [tex3]\$5[/tex3] a mais que cada mulher pagou (obtemos pela mesma lógica anterior). Logo:
[tex3]\frac{\$250}{\text{homens}}=\frac{\$160}{\text{mulheres}}+5
[/tex3]
Vou nomear [tex3]\text{homens}=h[/tex3] e [tex3]\text{mulheres}=m[/tex3]
[tex3]\frac{250}{h}=\frac{160}{m}+5[/tex3]
Multiplicando todos termos por [tex3]h\cdot m[/tex3] :
[tex3]\frac{250}{\cancel h}\cdot \cancel h\cdot m=\frac{160}{\cancel m}\cdot h\cdot \cancel m+5\cdot h\cdot m[/tex3]
[tex3]250\cdot m=160\cdot h+5\cdot hm[/tex3]
Dividindo tudo por [tex3]5[/tex3] :
[tex3]50\cdot m=32\cdot h+h\cdot m{\color{red}I)}[/tex3]
Mas, temos que:
[tex3]h+m=18[/tex3]
Ou:
[tex3]m=18-h[/tex3]
Multiplicando por [tex3]50[/tex3] :
[tex3]50\cdot m=900-50\cdot h{\color{red}II)}[/tex3]
Logo, podemos igualar [tex3]{\color{red}I)}[/tex3] com [tex3]{\color{red}II)}[/tex3]
[tex3]32\cdot h+h\cdot m=900-50\cdot h[/tex3]
Substituindo [tex3]m=18-h[/tex3] :
[tex3]32\cdot h+h\cdot (18-h)=900-50\cdot h[/tex3]
[tex3]32\cdot h+h\cdot18-h^2=900-50\cdot h[/tex3]
[tex3]h^{2}-50\cdot h - 18\cdot h-32\cdot h+900=0[/tex3]
[tex3]h^2-100\cdot h+900=0[/tex3]
Por soma e produto ou Bhaskara
[tex3]h_1=90[/tex3] e [tex3]h_2=10[/tex3]
No entanto, apenas [tex3]h_2[/tex3] convém, pois é menor que [tex3]18[/tex3]
Desse modo:
[tex3]h+m=18[/tex3]
[tex3]10+m=18[/tex3]
[tex3]\boxed{m=8}[/tex3] e [tex3]\boxed{h=10}[/tex3]
A solução do MateusQqMD é mais rápida. Encontrei esse outro modo.
Inicialmente, montei um sistema:
[tex3]\begin{cases}
\text{homens}+\text{mulheres}=18 \\
\frac{\$250}{\text{homens}}=\frac{\$160}{\text{mulheres}}+5
\end{cases}[/tex3]
Isso pois, se dividirmos o preço total pago pelos homens, pela quantidade de homens no restaurante, teremos quanto foi pago por cada homem, que foi [tex3]\$5[/tex3] a mais que cada mulher pagou (obtemos pela mesma lógica anterior). Logo:
[tex3]\frac{\$250}{\text{homens}}=\frac{\$160}{\text{mulheres}}+5
[/tex3]
Vou nomear [tex3]\text{homens}=h[/tex3] e [tex3]\text{mulheres}=m[/tex3]
[tex3]\frac{250}{h}=\frac{160}{m}+5[/tex3]
Multiplicando todos termos por [tex3]h\cdot m[/tex3] :
[tex3]\frac{250}{\cancel h}\cdot \cancel h\cdot m=\frac{160}{\cancel m}\cdot h\cdot \cancel m+5\cdot h\cdot m[/tex3]
[tex3]250\cdot m=160\cdot h+5\cdot hm[/tex3]
Dividindo tudo por [tex3]5[/tex3] :
[tex3]50\cdot m=32\cdot h+h\cdot m{\color{red}I)}[/tex3]
Mas, temos que:
[tex3]h+m=18[/tex3]
Ou:
[tex3]m=18-h[/tex3]
Multiplicando por [tex3]50[/tex3] :
[tex3]50\cdot m=900-50\cdot h{\color{red}II)}[/tex3]
Logo, podemos igualar [tex3]{\color{red}I)}[/tex3] com [tex3]{\color{red}II)}[/tex3]
[tex3]32\cdot h+h\cdot m=900-50\cdot h[/tex3]
Substituindo [tex3]m=18-h[/tex3] :
[tex3]32\cdot h+h\cdot (18-h)=900-50\cdot h[/tex3]
[tex3]32\cdot h+h\cdot18-h^2=900-50\cdot h[/tex3]
[tex3]h^{2}-50\cdot h - 18\cdot h-32\cdot h+900=0[/tex3]
[tex3]h^2-100\cdot h+900=0[/tex3]
Por soma e produto ou Bhaskara
[tex3]h_1=90[/tex3] e [tex3]h_2=10[/tex3]
No entanto, apenas [tex3]h_2[/tex3] convém, pois é menor que [tex3]18[/tex3]
Desse modo:
[tex3]h+m=18[/tex3]
[tex3]10+m=18[/tex3]
[tex3]\boxed{m=8}[/tex3] e [tex3]\boxed{h=10}[/tex3]
Última edição: Planck (Ter 19 Mar, 2019 13:54). Total de 1 vez.
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paulo testoni
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Mar 2019
22
13:26
Re: Números de pessoas.
Hola.
Agradeço a ambos pela excelente explanação.
Agradeço a ambos pela excelente explanação.
Paulo Testoni
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