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Prisma

Enviado: Sex 15 Mar, 2019 07:52
por FISMAQUIM
Na figura, tem-se representado um prisma de faces retangulares, com arestas medindo 8 cm, 2 cm e 4 cm, conforme mostrado a seguir. Se o ponto P é a interseção das diagonais da face CDGH, qual é o menor caminho que liga A e P e está contido na superfície do prisma?
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Re: Prisma

Enviado: Sex 15 Mar, 2019 10:30
por Planck
Olá FISMAQUIM,

Você tem o gabarito? Cheguei ao resultado de [tex3]2\sqrt{5}+2[/tex3]

Inicialmente, a menor distância entre dois pontos é uma reta, logo, tracei um segmento [tex3]\overline{AP}.[/tex3] Contudo, foi dito que o menor caminho que liga A e P está contido na superfície do prisma, então fiz:
geogebra-export (5).png
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Note o triângulo [tex3]AIP[/tex3] , a soma [tex3]AI+IP[/tex3] nos dará o menor caminho passando pelas faces. Portanto:

Temos que [tex3]I[/tex3] é o ponto médio do lado [tex3]DC[/tex3] , então [tex3]ID=4[cm][/tex3]

Olhando o triângulo [tex3]ADI[/tex3] , podemos encontrar [tex3]AI[/tex3] pelo Teorema de Pitágoras:

[tex3]ID^2+AD^2=AI^2[/tex3]

Após os cálculos, chegamos a [tex3]\boxed{AI=2\sqrt{5}[cm]}[/tex3]

Além disso, [tex3]\boxed{IP=\frac{HC}{2}=2[cm]}[/tex3]

Assim, concluímos que:

[tex3]AI+IP=AI=\boxed{2\sqrt{5}[cm]+2[cm]}[/tex3]

Re: Prisma

Enviado: Sex 15 Mar, 2019 11:19
por csmarcelo
Se

1) [tex3]x[/tex3] é a distância [tex3]DI[/tex3]
2) [tex3]f[/tex3] a função que determina o comprimento de [tex3]AI[/tex3] em função de [tex3]x[/tex3]
3) [tex3]g[/tex3] a função que determina o comprimento de [tex3]PI[/tex3] em função de [tex3]x[/tex3]

[tex3]f(x)=\sqrt{x^2+4}[/tex3]
[tex3]g(x)=\sqrt{(4-x)^2+2^2}=\sqrt{x^2-8x+20}[/tex3]

Logo

[tex3]f'(x)=\frac{x}{\sqrt{x^2+4}}[/tex3]
[tex3]g'(x)=\frac{x+2}{\sqrt{x^2-8x+20}}[/tex3]

Como

[tex3](f+g)'=f'(x)+g'(x)[/tex3]

Temos que

[tex3](f+g)'=\frac{x}{\sqrt{x^2+4}}+\frac{x+2}{\sqrt{x^2-8x+20}}[/tex3]

So não sei continuar daqui... jogando no Geogebra, ele deu o menor valor da expressão, dada a restrição [tex3]x>0[/tex3] , quando [tex3]x=2[/tex3] .

[tex3]f(2)=\sqrt{2^2+4}=2\sqrt{2}[/tex3]
[tex3]g(2)=\sqrt{2^2-8\cdot2+20}=2\sqrt{2}[/tex3]

Dando-nos, portanto, uma distância de [tex3]4\sqrt{2}[/tex3] centímetros quando [tex3]m(\overline{DI})=2[/tex3] .

Deve haver uma maneira mais simples.

Re: Prisma

Enviado: Sex 15 Mar, 2019 11:23
por csmarcelo
Ah...[tex3]I[/tex3] também poderia correr por [tex3]DG[/tex3] , mas isso nos daria [tex3]g_2(x)=\sqrt{x^2-4x+20}[/tex3] , o que retorna valores que [tex3]g(x)[/tex3] para um mesmo [tex3]x[/tex3] . Logo, encontraremos o menor caminho com [tex3]I[/tex3] em [tex3]DC[/tex3] mesmo.

Re: Prisma

Enviado: Sex 15 Mar, 2019 11:25
por FISMAQUIM
Planck escreveu:
Sex 15 Mar, 2019 10:30
Olá FISMAQUIM,

Você tem o gabarito? Cheguei ao resultado de [tex3]2\sqrt{5}+2[/tex3]

Inicialmente, a menor distância entre dois pontos é uma reta, logo, tracei um segmento [tex3]\overline{AP}.[/tex3] Contudo, foi dito que o menor caminho que liga A e P está contido na superfície do prisma, então fiz:

geogebra-export (5).png

Note o triângulo [tex3]AIP[/tex3] , a soma [tex3]AI+IP[/tex3] nos dará o menor caminho passando pelas faces. Portanto:

Temos que [tex3]I[/tex3] é o ponto médio do lado [tex3]DC[/tex3] , então [tex3]ID=4[cm][/tex3]

Olhando o triângulo [tex3]ADI[/tex3] , podemos encontrar [tex3]AI[/tex3] pelo Teorema de Pitágoras:

[tex3]ID^2+AD^2=AI^2[/tex3]

Após os cálculos, chegamos a [tex3]\boxed{AI=2\sqrt{5}[cm]}[/tex3]

Além disso, [tex3]\boxed{IP=\frac{HC}{2}=2[cm]}[/tex3]

Assim, concluímos que:

[tex3]AI+IP=AI=\boxed{2\sqrt{5}[cm]+2[cm]}[/tex3]
Não tenho o gabarito

Re: Prisma

Enviado: Sex 15 Mar, 2019 13:57
por csmarcelo
Consegui provar, mas ainda assim acho que existe outra alternativa, pois achei a explicação meio rebuscada.

[tex3]f(x)=\sqrt{x^2+4}[/tex3]
[tex3]g(x)=\sqrt{(4-x)^2+4}[/tex3]

Logo,

[tex3]g(x)=f(4-x)[/tex3]

Ou seja, as funções diferenciam-se apenas por um deslocamento horizontal.
Untitled.png
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Isso quer dizer que a menor soma [tex3]f(x)+g(x)[/tex3] ocorrerá quando [tex3]f(x)=g(x)[/tex3] (na imagem, o ponto A)? Porquê?

Se você se deslocar desse ponto, seja para a direita ou para a esquerda, haverá tanto variação de [tex3]f(x)[/tex3] quanto de [tex3]g(x)[/tex3] . No intervalo possível de [tex3]x[/tex3] , uma função aumentará de valor e a outra diminuirá. Como a taxa de variação da função que aumenta é maior que a da que diminui, o resultado da soma ficará cada vez maior.

Como provar que a taxa de variação aumenta junto com o crescimento de [tex3]y[/tex3] (quando [tex3]a>0[/tex3] )?

Se [tex3]f(x)=ax^2+bx+c[/tex3] , então [tex3]f'(x)=2ax+b[/tex3] .

Se [tex3]a[/tex3] é positivo, [tex3]f'(x)[/tex3] é uma reta com coeficiente angular positivo, logo, [tex3]f'(x)[/tex3] crescerá quando [tex3]x[/tex3] crescer (e diminuirá quando [tex3]x[/tex3] diminuir).