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Prisma
Enviado: Sex 15 Mar, 2019 07:52
por FISMAQUIM
Na figura, tem-se representado um prisma de faces retangulares, com arestas medindo 8 cm, 2 cm e 4 cm, conforme mostrado a seguir. Se o ponto P é a interseção das diagonais da face CDGH, qual é o menor caminho que liga A e P e está contido na superfície do prisma?
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Re: Prisma
Enviado: Sex 15 Mar, 2019 10:30
por Planck
Olá
FISMAQUIM,
Você tem o gabarito? Cheguei ao resultado de [tex3]2\sqrt{5}+2[/tex3]
Inicialmente, a menor distância entre dois pontos é uma reta, logo, tracei um segmento [tex3]\overline{AP}.[/tex3]
Contudo, foi dito que
o menor caminho que liga A e P está contido na superfície do prisma, então fiz:
- geogebra-export (5).png (36.87 KiB) Exibido 1549 vezes
Note o triângulo [tex3]AIP[/tex3]
, a soma [tex3]AI+IP[/tex3]
nos dará o menor caminho passando pelas faces. Portanto:
Temos que [tex3]I[/tex3]
é o ponto médio do lado [tex3]DC[/tex3]
, então [tex3]ID=4[cm][/tex3]
Olhando o triângulo [tex3]ADI[/tex3]
, podemos encontrar [tex3]AI[/tex3]
pelo Teorema de Pitágoras:
[tex3]ID^2+AD^2=AI^2[/tex3]
Após os cálculos, chegamos a [tex3]\boxed{AI=2\sqrt{5}[cm]}[/tex3]
Além disso, [tex3]\boxed{IP=\frac{HC}{2}=2[cm]}[/tex3]
Assim, concluímos que:
[tex3]AI+IP=AI=\boxed{2\sqrt{5}[cm]+2[cm]}[/tex3]
Re: Prisma
Enviado: Sex 15 Mar, 2019 11:19
por csmarcelo
Se
1) [tex3]x[/tex3]
é a distância [tex3]DI[/tex3]
2) [tex3]f[/tex3]
a função que determina o comprimento de [tex3]AI[/tex3]
em função de [tex3]x[/tex3]
3) [tex3]g[/tex3]
a função que determina o comprimento de [tex3]PI[/tex3]
em função de [tex3]x[/tex3]
[tex3]f(x)=\sqrt{x^2+4}[/tex3]
[tex3]g(x)=\sqrt{(4-x)^2+2^2}=\sqrt{x^2-8x+20}[/tex3]
Logo
[tex3]f'(x)=\frac{x}{\sqrt{x^2+4}}[/tex3]
[tex3]g'(x)=\frac{x+2}{\sqrt{x^2-8x+20}}[/tex3]
Como
[tex3](f+g)'=f'(x)+g'(x)[/tex3]
Temos que
[tex3](f+g)'=\frac{x}{\sqrt{x^2+4}}+\frac{x+2}{\sqrt{x^2-8x+20}}[/tex3]
So não sei continuar daqui... jogando no Geogebra, ele deu o menor valor da expressão, dada a restrição [tex3]x>0[/tex3]
, quando [tex3]x=2[/tex3]
.
[tex3]f(2)=\sqrt{2^2+4}=2\sqrt{2}[/tex3]
[tex3]g(2)=\sqrt{2^2-8\cdot2+20}=2\sqrt{2}[/tex3]
Dando-nos, portanto, uma distância de [tex3]4\sqrt{2}[/tex3]
centímetros quando [tex3]m(\overline{DI})=2[/tex3]
.
Deve haver uma maneira mais simples.
Re: Prisma
Enviado: Sex 15 Mar, 2019 11:23
por csmarcelo
Ah...[tex3]I[/tex3]
também poderia correr por [tex3]DG[/tex3]
, mas isso nos daria [tex3]g_2(x)=\sqrt{x^2-4x+20}[/tex3]
, o que retorna valores que [tex3]g(x)[/tex3]
para um mesmo [tex3]x[/tex3]
. Logo, encontraremos o menor caminho com [tex3]I[/tex3]
em [tex3]DC[/tex3]
mesmo.
Re: Prisma
Enviado: Sex 15 Mar, 2019 11:25
por FISMAQUIM
Planck escreveu: ↑Sex 15 Mar, 2019 10:30
Olá
FISMAQUIM,
Você tem o gabarito? Cheguei ao resultado de [tex3]2\sqrt{5}+2[/tex3]
Inicialmente, a menor distância entre dois pontos é uma reta, logo, tracei um segmento [tex3]\overline{AP}.[/tex3]
Contudo, foi dito que
o menor caminho que liga A e P está contido na superfície do prisma, então fiz:
geogebra-export (5).png
Note o triângulo [tex3]AIP[/tex3]
, a soma [tex3]AI+IP[/tex3]
nos dará o menor caminho passando pelas faces. Portanto:
Temos que [tex3]I[/tex3]
é o ponto médio do lado [tex3]DC[/tex3]
, então [tex3]ID=4[cm][/tex3]
Olhando o triângulo [tex3]ADI[/tex3]
, podemos encontrar [tex3]AI[/tex3]
pelo Teorema de Pitágoras:
[tex3]ID^2+AD^2=AI^2[/tex3]
Após os cálculos, chegamos a [tex3]\boxed{AI=2\sqrt{5}[cm]}[/tex3]
Além disso, [tex3]\boxed{IP=\frac{HC}{2}=2[cm]}[/tex3]
Assim, concluímos que:
[tex3]AI+IP=AI=\boxed{2\sqrt{5}[cm]+2[cm]}[/tex3]
Não tenho o gabarito
Re: Prisma
Enviado: Sex 15 Mar, 2019 13:57
por csmarcelo
Consegui provar, mas ainda assim acho que existe outra alternativa, pois achei a explicação meio rebuscada.
[tex3]f(x)=\sqrt{x^2+4}[/tex3]
[tex3]g(x)=\sqrt{(4-x)^2+4}[/tex3]
Logo,
[tex3]g(x)=f(4-x)[/tex3]
Ou seja, as funções diferenciam-se apenas por um deslocamento horizontal.
- Untitled.png (30.8 KiB) Exibido 1535 vezes
Isso quer dizer que a menor soma [tex3]f(x)+g(x)[/tex3]
ocorrerá quando [tex3]f(x)=g(x)[/tex3]
(na imagem, o ponto A)? Porquê?
Se você se deslocar desse ponto, seja para a direita ou para a esquerda, haverá tanto variação de [tex3]f(x)[/tex3]
quanto de [tex3]g(x)[/tex3]
. No intervalo possível de [tex3]x[/tex3]
, uma função aumentará de valor e a outra diminuirá. Como a taxa de variação da função que aumenta é maior que a da que diminui, o resultado da soma ficará cada vez maior.
Como provar que a taxa de variação aumenta junto com o crescimento de [tex3]y[/tex3]
(quando [tex3]a>0[/tex3]
)?
Se [tex3]f(x)=ax^2+bx+c[/tex3]
, então [tex3]f'(x)=2ax+b[/tex3]
.
Se [tex3]a[/tex3]
é positivo, [tex3]f'(x)[/tex3]
é uma reta com coeficiente angular positivo, logo, [tex3]f'(x)[/tex3]
crescerá quando [tex3]x[/tex3]
crescer (e diminuirá quando [tex3]x[/tex3]
diminuir).