oi bom dia a todos.
Quantos e quais elementos satisfazem a equação [tex3]\arcsen 2x -3\cdot\arcsen x=0 [/tex3]
MACK - 1975 (Não tenho o gabarito),
Ensino Médio ⇒ Função inversa (trigonométrica) Tópico resolvido
Moderador: [ Moderadores TTB ]
Mar 2019
14
13:51
Re: Função inversa (trigonométrica)
Seja
[tex3]\alpha=\arcsen x[/tex3]
[tex3]\beta=\arcsen 2x[/tex3]
Se
[tex3]\arcsen 2x=3\cdot\arcsen x[/tex3]
Então
1) [tex3]\beta=3\alpha[/tex3]
2) [tex3]sin\beta=2\cdot\sin\alpha[/tex3]
Logo,
[tex3]sin(3\alpha)=2\cdot\sin\alpha[/tex3]
Do arco triplo
[tex3]3\sin\alpha-4\sin^3\alpha=2\cdot\sin\alpha[/tex3]
Uma solução é [tex3]\sin\alpha=x=0[/tex3] , afinal, teremos [tex3]0-0=0[/tex3] .
Agora, para [tex3]\sin\alpha\neq0[/tex3] , podemos dividir tudo por [tex3]\sin\alpha[/tex3] e, com simples manipulação algébrica, concluímos que
[tex3]\sin\alpha=x=\pm\frac{1}{2}[/tex3]
[tex3]\alpha=\arcsen x[/tex3]
[tex3]\beta=\arcsen 2x[/tex3]
Se
[tex3]\arcsen 2x=3\cdot\arcsen x[/tex3]
Então
1) [tex3]\beta=3\alpha[/tex3]
2) [tex3]sin\beta=2\cdot\sin\alpha[/tex3]
Logo,
[tex3]sin(3\alpha)=2\cdot\sin\alpha[/tex3]
Do arco triplo
[tex3]3\sin\alpha-4\sin^3\alpha=2\cdot\sin\alpha[/tex3]
Uma solução é [tex3]\sin\alpha=x=0[/tex3] , afinal, teremos [tex3]0-0=0[/tex3] .
Agora, para [tex3]\sin\alpha\neq0[/tex3] , podemos dividir tudo por [tex3]\sin\alpha[/tex3] e, com simples manipulação algébrica, concluímos que
[tex3]\sin\alpha=x=\pm\frac{1}{2}[/tex3]
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