Ensino Médio(EN) Área Limitada pelos Gráficos Tópico resolvido

Problemas sobre assuntos estudados no Ensino Médio devem ser postados aqui. Se o problema for de Vestibular, poste-o no fórum Pré-Vestibular

Moderador: [ Moderadores TTB ]

Avatar do usuário
Autor do Tópico
vitorsl123
Elite
Mensagens: 184
Registrado em: Qua 06 Mar, 2019 13:28
Última visita: 27-01-20
Agradeceu: 101 vezes
Agradeceram: 11 vezes
Mar 2019 13 12:21

(EN) Área Limitada pelos Gráficos

Mensagem não lida por vitorsl123 »

A área da região limitada pelos gráficos das funções [tex3]y=\sqrt{9-x^{2}}[/tex3] , [tex3]y=|x|[/tex3] , [tex3]y=\frac{3\sqrt{2}+2x}{4}[/tex3] é igual a:

A) 3√2/4 (3π - 2)
B) 3/4 (π -2)
C) 3/4 (π -2√2)
D) 3/4 (3π -2)
E) 3/4 (3π -2√2)
Resposta

3/4 (3π -2)
4 (3π -2√2)

Última edição: vitorsl123 (Qua 13 Mar, 2019 13:52). Total de 6 vezes.



Avatar do usuário
Cardoso1979
6 - Doutor
Mensagens: 2075
Registrado em: Sex 05 Jan, 2018 19:45
Última visita: 28-02-20
Localização: Teresina- PI
Agradeceu: 155 vezes
Agradeceram: 1052 vezes
Mar 2019 13 22:30

Re: (EN) Área Limitada pelos Gráficos

Mensagem não lida por Cardoso1979 »

Olá!

Amanhã vou encontrar um tempinho e resolver esta questão, agora estou em viagem, isso se ninguém resolver até lá.👍




Avatar do usuário
Cardoso1979
6 - Doutor
Mensagens: 2075
Registrado em: Sex 05 Jan, 2018 19:45
Última visita: 28-02-20
Localização: Teresina- PI
Agradeceu: 155 vezes
Agradeceram: 1052 vezes
Mar 2019 14 07:59

Re: (EN) Área Limitada pelos Gráficos

Mensagem não lida por Cardoso1979 »

Infelizmente depois de ter digitado tudo, apareceu um problema 😠



Avatar do usuário
Autor do Tópico
vitorsl123
Elite
Mensagens: 184
Registrado em: Qua 06 Mar, 2019 13:28
Última visita: 27-01-20
Agradeceu: 101 vezes
Agradeceram: 11 vezes
Mar 2019 14 10:22

Re: (EN) Área Limitada pelos Gráficos

Mensagem não lida por vitorsl123 »

Cardoso1979 escreveu:
Qui 14 Mar, 2019 07:59
Infelizmente depois de ter digitado tudo, apareceu um problema 😠
Tudo bem



Avatar do usuário
Cardoso1979
6 - Doutor
Mensagens: 2075
Registrado em: Sex 05 Jan, 2018 19:45
Última visita: 28-02-20
Localização: Teresina- PI
Agradeceu: 155 vezes
Agradeceram: 1052 vezes
Mar 2019 14 11:19

Re: (EN) Área Limitada pelos Gráficos

Mensagem não lida por Cardoso1979 »

Observe

Solução:

O gráfico da função y = √( 9 - x² ) ⇔ x² + y² = 9
∧ y ≥ 0 é uma semicircunferência de centro ( 0 , 0 ) , raio 3 e acima do eixo x. Vamos determinar os pontos de intersecção dessas funções.

[tex3]\frac{3\sqrt{2}+2x}{4}=|x| ⇔ \begin{cases}
3\sqrt{2}+2x=4x ⇔ x=\frac{3\sqrt{2}}{2} \\
ou \\
3\sqrt{2}+2x=-4x⇔x=-\frac{\sqrt{2}}{2}
\end{cases}[/tex3]

Ainda;

√( 9 - x² ) = | x | ⇔ 9 - x² = x² ⇔ x = [tex3]x=\pm \frac{3\sqrt{2}}{2}[/tex3]

Assim, as três funções passam pelo ponto A = [tex3]\left(\frac{3\sqrt{2}}{2},\frac{3\sqrt{2}}{2}\right)[/tex3]

As funções y = √( 9 - x² ) e y = | x |, se intersectam também no ponto B =[tex3]\left(-\frac{3\sqrt{2}}{2},\frac{3\sqrt{2}}{2}\right)[/tex3] . As funções y = [tex3]\frac{3\sqrt{2}+2x}{4}[/tex3] e y = | x |, se intersectam também no ponto C =[tex3]\left(-\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2}\right)[/tex3]

Então;
15525708173412936462985354414894.jpg
15525708173412936462985354414894.jpg (43.67 KiB) Exibido 332 vezes



A área sombreada é a região limitada pelos gráficos das três funções. A intersecção do gráfico da função y = | x | com o gráfico de y = √( 9 - x² ) é um setor circular de raio 3 e ângulo de 90° ( Note que as duas semirretas que compõem esse gráfico são bissetrizes dos quadrantes ). Para encontrarmos a área da região sombreada, basta subtrair da área desse setor, a área do triângulo retângulo AOC.
Precisamos, então, determinar OA e OC( calcular a distância entre dois pontos ), temos:

[tex3]A=\left(\frac{3\sqrt{2}}{2},\frac{3\sqrt{2}}{2}\right) ⇒ OA=\sqrt{\left(\frac{3\sqrt{2}}{2}\right)^2+\left(\frac{3\sqrt{2}}{2}\right)^2}=\sqrt{\frac{9}{2}+\frac{9}{2}}=3[/tex3]


[tex3]C=\left(-\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2}\right) ⇒ OC=\sqrt{\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2+\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2}=\sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}}=1[/tex3]

Portanto, a área sombreada é : [tex3]A=A_{
setor OAB}-A_{∆OAC}[/tex3]

[tex3]A=\frac{π.r^2}{4}-\frac{OC.OA}{2}[/tex3]

[tex3]A=\frac{π.3^2}{4}-\frac{1.3}{2}[/tex3]

[tex3]A=\frac{3.3π}{4}-\frac{3}{2}[/tex3]

[tex3]A=\frac{3}{4}(3π-2)[/tex3] , alternativa D).


Ufa!!! Agora consegui enviar 😅



Bons estudos!



Avatar do usuário
Autor do Tópico
vitorsl123
Elite
Mensagens: 184
Registrado em: Qua 06 Mar, 2019 13:28
Última visita: 27-01-20
Agradeceu: 101 vezes
Agradeceram: 11 vezes
Mar 2019 14 11:31

Re: (EN) Área Limitada pelos Gráficos

Mensagem não lida por vitorsl123 »

Cardoso1979 escreveu:
Qui 14 Mar, 2019 11:19
Observe

Solução:

O gráfico da função y = √( 9 - x² ) ⇔ x² + y² = 9
∧ y ≥ 0 é uma semicircunferência de centro ( 0 , 0 ) , raio 3 e acima do eixo x. Vamos determinar os pontos de intersecção dessas funções.

[tex3]\frac{3\sqrt{2}+2x}{4}=|x| ⇔ \begin{cases}
3\sqrt{2}+2x=4x ⇔ x=\frac{3\sqrt{2}}{2} \\
ou \\
3\sqrt{2}+2x=-4x⇔x=-\frac{\sqrt{2}}{2}
\end{cases}[/tex3]

Ainda;

√( 9 - x² ) = | x | ⇔ 9 - x² = x² ⇔ x = [tex3]x=\pm \frac{3\sqrt{2}}{2}[/tex3]

Assim, as três funções passam pelo ponto A = [tex3]\left(\frac{3\sqrt{2}}{2},\frac{3\sqrt{2}}{2}\right)[/tex3]

As funções y = √( 9 - x² ) e y = | x |, se intersectam também no ponto B =[tex3]\left(-\frac{3\sqrt{2}}{2},\frac{3\sqrt{2}}{2}\right)[/tex3] . As funções y = [tex3]\frac{3\sqrt{2}+2x}{4}[/tex3] e y = | x |, se intersectam também no ponto C =[tex3]\left(-\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2}\right)[/tex3]

Então;

15525708173412936462985354414894.jpg


A área sombreada é a região limitada pelos gráficos das três funções. A intersecção do gráfico da função y = | x | com o gráfico de y = √( 9 - x² ) é um setor circular de raio 3 e ângulo de 90° ( Note que as duas semirretas que compõem esse gráfico são bissetrizes dos quadrantes ). Para encontrarmos a área da região sombreada, basta subtrair da área desse setor, a área do triângulo retângulo AOC.
Precisamos, então, determinar OA e OC( calcular a distância entre dois pontos ), temos:

[tex3]A=\left(\frac{3\sqrt{2}}{2},\frac{3\sqrt{2}}{2}\right) ⇒ OA=\sqrt{\left(\frac{3\sqrt{2}}{2}\right)^2+\left(\frac{3\sqrt{2}}{2}\right)^2}=\sqrt{\frac{9}{2}+\frac{9}{2}}=3[/tex3]


[tex3]C=\left(-\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2}\right) ⇒ OC=\sqrt{\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2+\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2}=\sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}}=1[/tex3]

Portanto, a área sombreada é : [tex3]A=A_{
setor OAB}-A_{∆OAC}[/tex3]

[tex3]A=\frac{π.r^2}{4}-\frac{OC.OA}{2}[/tex3]

[tex3]A=\frac{π.3^2}{4}-\frac{1.3}{2}[/tex3]

[tex3]A=\frac{3.3π}{4}-\frac{3}{2}[/tex3]

[tex3]A=\frac{3}{4}(3π-2)[/tex3] , alternativa D).


Ufa!!! Agora consegui enviar 😅



Bons estudos!
Amigo, não sei como poço agradecer



Avatar do usuário
Cardoso1979
6 - Doutor
Mensagens: 2075
Registrado em: Sex 05 Jan, 2018 19:45
Última visita: 28-02-20
Localização: Teresina- PI
Agradeceu: 155 vezes
Agradeceram: 1052 vezes
Mar 2019 14 16:46

Re: (EN) Área Limitada pelos Gráficos

Mensagem não lida por Cardoso1979 »

vitorsl123 escreveu:
Qui 14 Mar, 2019 11:31
Cardoso1979 escreveu:
Qui 14 Mar, 2019 11:19
Observe

Solução:

O gráfico da função y = √( 9 - x² ) ⇔ x² + y² = 9
∧ y ≥ 0 é uma semicircunferência de centro ( 0 , 0 ) , raio 3 e acima do eixo x. Vamos determinar os pontos de intersecção dessas funções.

[tex3]\frac{3\sqrt{2}+2x}{4}=|x| ⇔ \begin{cases}
3\sqrt{2}+2x=4x ⇔ x=\frac{3\sqrt{2}}{2} \\
ou \\
3\sqrt{2}+2x=-4x⇔x=-\frac{\sqrt{2}}{2}
\end{cases}[/tex3]

Ainda;

√( 9 - x² ) = | x | ⇔ 9 - x² = x² ⇔ x = [tex3]x=\pm \frac{3\sqrt{2}}{2}[/tex3]

Assim, as três funções passam pelo ponto A = [tex3]\left(\frac{3\sqrt{2}}{2},\frac{3\sqrt{2}}{2}\right)[/tex3]

As funções y = √( 9 - x² ) e y = | x |, se intersectam também no ponto B =[tex3]\left(-\frac{3\sqrt{2}}{2},\frac{3\sqrt{2}}{2}\right)[/tex3] . As funções y = [tex3]\frac{3\sqrt{2}+2x}{4}[/tex3] e y = | x |, se intersectam também no ponto C =[tex3]\left(-\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2}\right)[/tex3]

Então;

15525708173412936462985354414894.jpg


A área sombreada é a região limitada pelos gráficos das três funções. A intersecção do gráfico da função y = | x | com o gráfico de y = √( 9 - x² ) é um setor circular de raio 3 e ângulo de 90° ( Note que as duas semirretas que compõem esse gráfico são bissetrizes dos quadrantes ). Para encontrarmos a área da região sombreada, basta subtrair da área desse setor, a área do triângulo retângulo AOC.
Precisamos, então, determinar OA e OC( calcular a distância entre dois pontos ), temos:

[tex3]A=\left(\frac{3\sqrt{2}}{2},\frac{3\sqrt{2}}{2}\right) ⇒ OA=\sqrt{\left(\frac{3\sqrt{2}}{2}\right)^2+\left(\frac{3\sqrt{2}}{2}\right)^2}=\sqrt{\frac{9}{2}+\frac{9}{2}}=3[/tex3]


[tex3]C=\left(-\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2}\right) ⇒ OC=\sqrt{\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2+\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2}=\sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}}=1[/tex3]

Portanto, a área sombreada é : [tex3]A=A_{
setor OAB}-A_{∆OAC}[/tex3]

[tex3]A=\frac{π.r^2}{4}-\frac{OC.OA}{2}[/tex3]

[tex3]A=\frac{π.3^2}{4}-\frac{1.3}{2}[/tex3]

[tex3]A=\frac{3.3π}{4}-\frac{3}{2}[/tex3]

[tex3]A=\frac{3}{4}(3π-2)[/tex3] , alternativa D).


Ufa!!! Agora consegui enviar 😅



Bons estudos!
Amigo, não sei como poço agradecer
A sua satisfação é a minha também 👍




Responder
  • Tópicos Semelhantes
    Respostas
    Exibições
    Última msg

Voltar para “Ensino Médio”