Mensagem não lidapor Cardoso1979 » Ter 05 Mar, 2019 15:15
Mensagem não lida
por Cardoso1979 »
Observe
Uma solução:
Chame [tex3]\sqrt[3]{2+\sqrt{5}}+\sqrt[3]{2-\sqrt{5}}=x[/tex3]
Elevando ambos os lados ao cubo, fica;
[tex3][\sqrt[3]{2+\sqrt{5}}+\sqrt[3]{2-\sqrt{5}}]^3=x^3[/tex3]
[tex3](\sqrt[3]{2+\sqrt{5}})^3+3.(\sqrt[3]{2+\sqrt{5}})^2.(\sqrt[3]{2-\sqrt{5}}) + 3.(\sqrt[3]{2+\sqrt{5}}).(\sqrt[3]{2-\sqrt{5}})^2 + (\sqrt[3]{2-\sqrt{5}})^3=x^3[/tex3]
[tex3]2+\cancel{\sqrt{5}}+3.\sqrt[3]{(4+4\sqrt{5}+5).(2-\sqrt{5}}) + 3.\sqrt[3]{(2+\sqrt{5}).({4-4\sqrt{5}+5}}) + 2-\cancel{\sqrt{5}}=x^3[/tex3]
[tex3]3.\sqrt[3]{(9+4\sqrt{5}).(2-\sqrt{5})}+3.\sqrt[3]{(2+\sqrt{5}).(9-4\sqrt{5})}=x^3-4[/tex3]
[tex3]3.\sqrt[3]{18-9\sqrt{5}+8\sqrt{5}-20}+ 3.\sqrt[3]{18-8\sqrt{5}+9\sqrt{5}-20}=x^3-4[/tex3]
[tex3]3.\sqrt[3]{-2-1.\sqrt{5}}+ 3.\sqrt[3]{-2+1.\sqrt{5}}=x^3-4[/tex3]
[tex3]3.\sqrt[3]{(-1).(2+\sqrt{5})}+ 3.\sqrt[3]{(-1).(2-\sqrt{5})}=x^3-4[/tex3]
[tex3](-1).3.\sqrt[3]{2+\sqrt{5}}+ (-1).3.\sqrt[3]{2-\sqrt{5}}=x^3-4[/tex3]
[tex3]-3.[\sqrt[3]{2+\sqrt{5}}+\sqrt[3]{2-\sqrt{5}}]=x^3-4[/tex3]
Mas,
[tex3]\sqrt[3]{2+\sqrt{5}}+\sqrt[3]{2-\sqrt{5}}=x[/tex3]
Então;
- 3x = x³ - 4
x³ + 3x - 4 = 0
( x - 1 ).( x² + x + 4 ) = 0
x = 1
Portanto, o valor inteiro da expressão [tex3]\sqrt[3]{2+\sqrt{5}}+\sqrt[3]{2-\sqrt{5}}[/tex3]
é 1, alternativa b).
Nota
As outras duas soluções são:
[tex3]x=\frac{-1±i\sqrt{15}}{2}[/tex3]
Bons estudos!