Ensino MédioValor Inteiro de Expressão Matemática Tópico resolvido

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alychamorrop
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Valor Inteiro de Expressão Matemática

Mensagem não lida por alychamorrop »

( Olimpíada de Minas Gerais - 2005 )
Qual o valor inteiro da expressão [tex3]\sqrt[3]{2+\sqrt{5}}+\sqrt[3]{2-\sqrt{5}}[/tex3] ?
a) O b) 1 c) 2 d) -2
Resposta

B
Eu elevei ao cubo mas fiquei perdido na parte: 3.(a)^2.b + 3.a.(b)^2 ao tentar colocar em evidencia. Alguém poderia explicar ?

Última edição: caju (Ter 05 Mar, 2019 15:33). Total de 3 vezes.
Razão: arrumar título.



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Cardoso1979
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Re: Valor Inteiro de Expressão Matemática

Mensagem não lida por Cardoso1979 »

Observe

Uma solução:

Chame [tex3]\sqrt[3]{2+\sqrt{5}}+\sqrt[3]{2-\sqrt{5}}=x[/tex3]

Elevando ambos os lados ao cubo, fica;

[tex3][\sqrt[3]{2+\sqrt{5}}+\sqrt[3]{2-\sqrt{5}}]^3=x^3[/tex3]

[tex3](\sqrt[3]{2+\sqrt{5}})^3+3.(\sqrt[3]{2+\sqrt{5}})^2.(\sqrt[3]{2-\sqrt{5}}) + 3.(\sqrt[3]{2+\sqrt{5}}).(\sqrt[3]{2-\sqrt{5}})^2 + (\sqrt[3]{2-\sqrt{5}})^3=x^3[/tex3]

[tex3]2+\cancel{\sqrt{5}}+3.\sqrt[3]{(4+4\sqrt{5}+5).(2-\sqrt{5}}) + 3.\sqrt[3]{(2+\sqrt{5}).({4-4\sqrt{5}+5}}) + 2-\cancel{\sqrt{5}}=x^3[/tex3]

[tex3]3.\sqrt[3]{(9+4\sqrt{5}).(2-\sqrt{5})}+3.\sqrt[3]{(2+\sqrt{5}).(9-4\sqrt{5})}=x^3-4[/tex3]

[tex3]3.\sqrt[3]{18-9\sqrt{5}+8\sqrt{5}-20}+ 3.\sqrt[3]{18-8\sqrt{5}+9\sqrt{5}-20}=x^3-4[/tex3]

[tex3]3.\sqrt[3]{-2-1.\sqrt{5}}+ 3.\sqrt[3]{-2+1.\sqrt{5}}=x^3-4[/tex3]

[tex3]3.\sqrt[3]{(-1).(2+\sqrt{5})}+ 3.\sqrt[3]{(-1).(2-\sqrt{5})}=x^3-4[/tex3]

[tex3](-1).3.\sqrt[3]{2+\sqrt{5}}+ (-1).3.\sqrt[3]{2-\sqrt{5}}=x^3-4[/tex3]

[tex3]-3.[\sqrt[3]{2+\sqrt{5}}+\sqrt[3]{2-\sqrt{5}}]=x^3-4[/tex3]

Mas,

[tex3]\sqrt[3]{2+\sqrt{5}}+\sqrt[3]{2-\sqrt{5}}=x[/tex3]

Então;

- 3x = x³ - 4

x³ + 3x - 4 = 0

( x - 1 ).( x² + x + 4 ) = 0

x = 1

Portanto, o valor inteiro da expressão [tex3]\sqrt[3]{2+\sqrt{5}}+\sqrt[3]{2-\sqrt{5}}[/tex3] é 1, alternativa b).


Nota

As outras duas soluções são:

[tex3]x=\frac{-1±i\sqrt{15}}{2}[/tex3]




Bons estudos!




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