Ensino Médio ⇒ Sistema Linear Tópico resolvido

[viitomtom]

Qual passo eu devo usar para resolver estes dois sistemas lineares com raízes (nunca fiz isso) PFVR se for responder mostre passo a passo
1)
|7-2| = [tex3]\sqrt{(x-1)^{2}+ (y-2)^{2}}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\sqrt{(x-1)^{2}+ (y-2)^{2}}[/tex3]

|7-2| = [tex3]\sqrt{(x-1)^{2}+ (y-7)^{2}}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\sqrt{(x-1)^{2}+ (y-7)^{2}}[/tex3]

2)
|8-2|= [tex3]\sqrt{2}\sqrt{(x-2)^{2}+ (y-7)^{2}}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\sqrt{2}\sqrt{(x-2)^{2}+ (y-7)^{2}}[/tex3]

|8-2|= [tex3]\sqrt{2}\sqrt{(x-8)^{2}+ (y-7)^{2}}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\sqrt{2}\sqrt{(x-8)^{2}+ (y-7)^{2}}[/tex3]

As respostas dos respectivos são:
1) x1 = 1 + [tex3]\frac{5}{2}\sqrt{3}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{5}{2}\sqrt{3}[/tex3]

ou x2= 1 - [tex3]\frac{5}{2}\sqrt{3}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{5}{2}\sqrt{3}[/tex3]

e y= [tex3]\frac{9}{2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{9}{2}[/tex3]

2) x= 5 e y1= 10 ou y2 = 4

[csmarcelo]

Você pode elevar ao quadrado.

[tex3]\(\sqrt{(x-1)^{2}+(y-2)^{2}}\)^2=\mid7-2\mid^2[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\(\sqrt{(x-1)^{2}+(y-2)^{2}}\)^2=\mid7-2\mid^2[/tex3]

[tex3](x-1)^{2}+(y-2)^{2}=25\ (I)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3](x-1)^{2}+(y-2)^{2}=25\ (I)[/tex3]

[tex3]\(\sqrt{(x-1)^{2}+(y-7)^{2}}\)^2=\mid7-2\mid^2[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\(\sqrt{(x-1)^{2}+(y-7)^{2}}\)^2=\mid7-2\mid^2[/tex3]

[tex3](x-1)^{2}+(y-7)^{2}=25\ (II)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3](x-1)^{2}+(y-7)^{2}=25\ (II)[/tex3]

De cara, temos que

[tex3](y-2)^2=(y-7)^2[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3](y-2)^2=(y-7)^2[/tex3]

Logo,

[tex3]|y-2|=|y-7|[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]|y-2|=|y-7|[/tex3]

Claramente, nessa situação, teremos um número positivo ([tex3]x-2[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x-2[/tex3]

) e outro negativo ([tex3]x-7[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x-7[/tex3]

). Portanto, [tex3]|y-2|=|y-7|\rightarrow y-2=-(y-7)\rightarrow y=\frac{9}{2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]|y-2|=|y-7|\rightarrow y-2=-(y-7)\rightarrow y=\frac{9}{2}[/tex3]

.

Substituindo [tex3]y[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]y[/tex3]

em [tex3]I[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]I[/tex3]

e [tex3]II[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]II[/tex3]

, você encontrará os respectivos valores de [tex3]x[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x[/tex3]

.

[viitomtom]

Por que você afirma que "NESSA SITUAÇÃO" |y-2| = |y-7| teremos um número negativo e outro positivo?? Poe que a potencia foi eliminada???

[csmarcelo]

Porque é impossível que [tex3]y-2=y-7[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]y-2=y-7[/tex3]

. Isso implicaria em [tex3]\cancel{y}{\color{red}-2}=\cancel{y}{\color{red}-7}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\cancel{y}{\color{red}-2}=\cancel{y}{\color{red}-7}[/tex3]

.

[viitomtom]

Hmmm agora entendi mas tenho outra questão: Por que você colocou em módulo logo depois de eliminar as potências de 2????

[csmarcelo]

Por que isso vem da definição de raiz quadrada.

[tex3]\sqrt{a^2}=|a|[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\sqrt{a^2}=|a|[/tex3]

Imagine [tex3]a=-7[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]a=-7[/tex3]

. Se [tex3]\sqrt{a^2}=a[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\sqrt{a^2}=a[/tex3]

, teríamos que [tex3]\sqrt{(-7)^2}=-7[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\sqrt{(-7)^2}=-7[/tex3]

.

[viitomtom]

Entendi essa parte mas para cortar as potências 2 de (y-2) e (y-7) vc aplicou raízes dos dois lados????

[csmarcelo]

viitomtom, exatamente!

[viitomtom]

Tenho outra dúvida: Logo depois quando vc fala "Claramente, nessa situação, teremos um número positivo (x-2) e outro negativo ( x-7)" NO LUGAR DO X NÃO SERIA (y-2) e (y-7)????????

[csmarcelo]

Sim, seria!