Ensino MédioCasas dos Pombos (Princípio de Derichlet) Tópico resolvido

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Casas dos Pombos (Princípio de Derichlet)

Mensagem não lida por ALANSILVA »

Escolha, dentre os elementos do conjunto {[tex3]1,2,...,200[/tex3] }, [tex3]101[/tex3] números ao acaso. Mostre que, entre os números escolhidos, há dois números tais que um deles divide o outro.



No meio da dificuldade se encontra a oportunidade (Albert Einstein)

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MateusQqMD
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Mar 2019 01 12:36

Re: Casas dos Pombos (Princípio de Derichlet)

Mensagem não lida por MateusQqMD »

A ideia é usar que qualquer natural [tex3]n[/tex3] pode ser escrito sob a forma [tex3]n = 2^k \cdot d[/tex3] , com [tex3]k[/tex3] inteiro não negativo e [tex3]d[/tex3] inteiro ímpar.

Para essa questão, por exemplo, [tex3]1 = 2^0 \cdot 1,\,\, 2 = 2^1 \cdot 1,\,\, 3 = 2^0 \cdot 3,\,\, ..,\,\, 199 = 2^0 \cdot 199,\,\, 200 = 2^3 \cdot 25[/tex3]

Note, agora, que há [tex3]100[/tex3] valores possíveis para [tex3]d[/tex3] , [tex3]\{ 1, \,\, 3, \,\, 5, \,\, 7, \,\, ..., \,\, 199 \}[/tex3] , ou seja, escolhendo 101 números do conjunto [tex3]\{1, \,\,2, \,\,...,\,\,200\}[/tex3] , teremos pelo menos dois deles com o mesmo d. Sejam esses números [tex3]n_1 = 2^{k_1} \cdot d[/tex3] e [tex3]n_2 = 2^{k_2} \cdot d[/tex3] . Se [tex3]k_1 < k_2[/tex3] então implica que [tex3]n_1 | n_2 [/tex3] ; se [tex3]k_1 > k_2[/tex3] então implica que [tex3]n_2 | n_1[/tex3] .



"Como sou pouco e sei pouco, faço o pouco que me cabe me dando por inteiro."

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Valdir
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Re: Casas dos Pombos (Princípio de Derichlet)

Mensagem não lida por Valdir »

MateusQqMD escreveu:
Sex 01 Mar, 2019 12:36
A ideia é usar que qualquer natural [tex3]n[/tex3] pode ser escrito sob a forma [tex3]n = 2^k \cdot d[/tex3] , com [tex3]k[/tex3] inteiro não negativo e [tex3]d[/tex3] inteiro ímpar.

Para essa questão, por exemplo, [tex3]1 = 2^0 \cdot 1,\,\, 2 = 2^1 \cdot 1,\,\, 3 = 2^0 \cdot 3,\,\, ..,\,\, 199 = 2^0 \cdot 199,\,\, 200 = 2^3 \cdot 25[/tex3]

Note, agora, que há [tex3]100[/tex3] valores possíveis para [tex3]d[/tex3] , [tex3]\{ 1, \,\, 3, \,\, 5, \,\, 7, \,\, ..., \,\, 199 \}[/tex3] , ou seja, escolhendo 101 números do conjunto [tex3]\{1, \,\,2, \,\,...,\,\,200\}[/tex3] , teremos pelo menos dois deles com o mesmo d. Sejam esses números [tex3]n_1 = 2^{k_1} \cdot d[/tex3] e [tex3]n_2 = 2^{k_2} \cdot d[/tex3] . Se [tex3]k_1 < k_2[/tex3] então implica que [tex3]n_1 | n_2 [/tex3] ; se [tex3]k_1 > k_2[/tex3] então implica que [tex3]n_2 | n_1[/tex3] .
Entendi a lógica, mas não entendi essa notação: [tex3]n_1 | n_2 [/tex3]
Eu não entendi o que essa "|" significa.



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Re: Casas dos Pombos (Princípio de Derichlet)

Mensagem não lida por ALANSILVA »

Olá Matheus
Se [tex3]k_{1}<k_{2}[/tex3] então [tex3]n_{2}[/tex3] divide [tex3]n_{1}[/tex3] ou estou errado?


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Re: Casas dos Pombos (Princípio de Derichlet)

Mensagem não lida por ALANSILVA »

Valdir o traço | é divisão


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Valdir
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Re: Casas dos Pombos (Princípio de Derichlet)

Mensagem não lida por Valdir »

ALANSILVA escreveu:
Sex 01 Mar, 2019 15:54
Valdir o traço | é divisão
Entendi, mas em português fica como ? [tex3]n_2 | n_1[/tex3]
[tex3]n_2 [/tex3] divide [tex3]n_1[/tex3]
Lê-se assim?



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Re: Casas dos Pombos (Princípio de Derichlet)

Mensagem não lida por MateusQqMD »

ALANSILVA escreveu:
Sex 01 Mar, 2019 15:52
Olá Matheus
Se [tex3]k_{1}<k_{2}[/tex3] então [tex3]n_{2}[/tex3] divide [tex3]n_{1}[/tex3] ou estou errado?
Oi, Alan

Tome como exemplo [tex3]k_1[/tex3] = 5 e [tex3]k_2 = 3[/tex3]

Logo,

[tex3]n_1 = 2^5 \cdot d[/tex3]

[tex3]n_2 = 2^3\cdot d[/tex3]

Portanto, [tex3]n_2[/tex3] divide [tex3]n_1[/tex3] , [tex3]\frac{2^5 \cdot d}{2^3\cdot d} = 4[/tex3]


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Re: Casas dos Pombos (Princípio de Derichlet)

Mensagem não lida por MateusQqMD »

Valdir escreveu:
Sex 01 Mar, 2019 16:15
ALANSILVA escreveu:
Sex 01 Mar, 2019 15:54
Valdir o traço | é divisão
Entendi, mas em português fica como ? [tex3]n_2 | n_1[/tex3]
[tex3]n_2 [/tex3] divide [tex3]n_1[/tex3]
Lê-se assim?
Isso mesmo, Valdir


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Re: Casas dos Pombos (Princípio de Derichlet)

Mensagem não lida por ALANSILVA »

MateusQqMD, boa noite
Onde posso encontrar a forma do número natural [tex3]n=2^k.d[/tex3] , sendo [tex3]d[/tex3] um inteiro?


No meio da dificuldade se encontra a oportunidade (Albert Einstein)

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Re: Casas dos Pombos (Princípio de Derichlet)

Mensagem não lida por MateusQqMD »

ALANSILVA escreveu:
Sex 01 Mar, 2019 23:06
MateusQqMD, boa noite
Onde posso encontrar a forma do número natural [tex3]n=2^k.d[/tex3] , sendo [tex3]d[/tex3] um inteiro?
não tenho nada aqui



"Como sou pouco e sei pouco, faço o pouco que me cabe me dando por inteiro."

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