Rapaz,
Essa sacada de identificar um quadrado perfeito decompondo parcelas é muito show. Eu nem lembrava mais desse recurso.
Eu tentei resolver por radicais duplos, mas não saiu nem com muita reza. Analisando sua resolução, vi que cometi alguns erros.
Vou deixar aqui a resolução (agora corrigida) por radicais duplos, aproveitando os trechos da sua resolução que, em teoria, seriam comuns à minha se eu não tivesse cometido os erros que cometi, mas, obviamente, o mérito é todo seu.
[tex3]\sqrt{2+\sqrt{3}}=\sqrt{\frac{3}{2}}+\sqrt{\frac{1}{2}}[/tex3]
[tex3]\sqrt{2-\sqrt{3}}=\sqrt{\frac{3}{2}}-\sqrt{\frac{1}{2}}[/tex3]
Daí,
[tex3]\sqrt{2}+\sqrt{2+\sqrt{3}}=\sqrt{2}+\sqrt{\frac{3}{2}}+\sqrt{\frac{1}{2}}[/tex3]
[tex3]\sqrt{2}-\sqrt{2-\sqrt{3}}=\sqrt{2}-\sqrt{\frac{3}{2}}+\sqrt{\frac{1}{2}}[/tex3]
Então,
[tex3]\(\sqrt{2}+\sqrt{2+\sqrt{3}}\)\(\sqrt{2}-\sqrt{2-\sqrt{3}}\)=[/tex3]
[tex3]=\[\(\sqrt{2}+\sqrt{\frac{1}{2}}\)+\sqrt{\frac{3}{2}}\]\[\(\sqrt{2}+\sqrt{\frac{1}{2}}\)-\sqrt{\frac{3}{2}}\]=[/tex3]
[tex3]=\(\sqrt{2}+\sqrt{\frac{1}{2}}\)^2-\(\sqrt{\frac{3}{2}}\)^2=3[/tex3]
*Ontem eu cheguei até aqui, mas, por um equívoco meu, havia encontrado outro resultado...Segue, daí, que a soma inicial é equivalente a
[tex3]\frac{\(2+\sqrt{3}\)\(\sqrt{2}-\sqrt{2-\sqrt{3}}\)+\(2-\sqrt{3}\)\(\sqrt{2}+\sqrt{2+\sqrt{3}}\)}{3}=[/tex3]
Levei o cheque-mate quando, ao invés de multiplicar, como você fez, pelas expressões originais, ou seja, [tex3]\sqrt{2}\mp\sqrt{2\mp\sqrt{3}}[/tex3]
, multipliquei por [tex3]\sqrt{2}+\sqrt{\frac{1}{2}}\mp\sqrt{\frac{3}{2}}[/tex3]
. Fazer isso, apesar de estar correto, realmente faz com que não dê para ir para mais lugar algum...
Voltando...
[tex3]=\frac{4\sqrt{2}-2\sqrt{2-\sqrt{3}}+2\sqrt{2+\sqrt{3}}-\sqrt{3}\sqrt{2-\sqrt{3}}-\sqrt{3}\sqrt{2+\sqrt{3}} }{3}[/tex3]
Vamos, agora, analisar algumas parcelas do numerador separadamente
[tex3]-2\sqrt{2-\sqrt{3}}+2\sqrt{2+\sqrt{3}}=2\(\sqrt{2+\sqrt{3}}-\sqrt{2-\sqrt{3}}\)=[/tex3]
Aqui, novamente por radicais duplos
[tex3]=2\[\(\sqrt{\frac{3}{2}}+\sqrt{\frac{1}{2}}\)-\(\sqrt{\frac{3}{2}}-\sqrt{\frac{1}{2}}\)\]=2\cdot2\sqrt{\frac{1}{2}}=\sqrt{\frac{16}{2}}=2\sqrt{2}[/tex3]
E, também de forma análoga,
[tex3]-\sqrt{3}\[\(\sqrt{\frac{3}{2}}-\sqrt{\frac{1}{2}}\)+\(\sqrt{\frac{3}{2}}+\sqrt{\frac{1}{2}}\)\]=-\sqrt{3}\cdot2\sqrt{\frac{3}{2}}=-\sqrt{\frac{36}{2}}=-3\sqrt{2}[/tex3]
Daí
[tex3]\frac{4\sqrt{2}-2\sqrt{2-\sqrt{3}}+2\sqrt{2+\sqrt{3}}-\sqrt{3}\sqrt{2-\sqrt{3}}-\sqrt{3}\sqrt{2+\sqrt{3}}}{3}=\frac{4\sqrt{2}+2\sqrt{2}-3\sqrt{2}}{3}=\sqrt{2}[/tex3]