[tex3]\frac{2+\sqrt{3}}{\sqrt{2}+\sqrt{2+\sqrt{3}}}+\frac{2-\sqrt{3}}{\sqrt{2}-\sqrt{2-\sqrt{3}}}[/tex3]
Resposta
[tex3]\sqrt{2}[/tex3]
Ensino Médio ⇒ Racionalização e simplificação Tópico resolvido
Moderador: [ Moderadores TTB ]
Fev 2019
25
22:39
Racionalização e simplificação
Simplifique:
[tex3]\frac{2+\sqrt{3}}{\sqrt{2}+\sqrt{2+\sqrt{3}}}+\frac{2-\sqrt{3}}{\sqrt{2}-\sqrt{2-\sqrt{3}}}[/tex3]
[tex3]\sqrt{2}[/tex3]
[tex3]\frac{2+\sqrt{3}}{\sqrt{2}+\sqrt{2+\sqrt{3}}}+\frac{2-\sqrt{3}}{\sqrt{2}-\sqrt{2-\sqrt{3}}}[/tex3]
[tex3]\sqrt{2}[/tex3]
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MateusQqMD 
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Fev 2019
26
00:17
Re: Racionalização e simplificação
Fala, marcelo
Vamos começar analisando o valor de
[tex3]\( \sqrt{2}+\sqrt{2+\sqrt{3}} \) \( \sqrt{2}-\sqrt{2-\sqrt{3}} \) = [/tex3]
[tex3]= 1 - \sqrt{ 4 - 2\sqrt{3} } + \sqrt{ 4 + 2\sqrt{3} }[/tex3]
[tex3]= 1 - \sqrt{ (\sqrt{3} - 1 )^2 } + \sqrt{ (1 + \sqrt{3})^2 }[/tex3]
[tex3]= 1 - (\sqrt{3} - 1) + (1 + \sqrt{3} ) = 3[/tex3]
Segue, daí, que a soma inicial é equivalente a
[tex3]\frac{\(2+ \sqrt{3}\) \( \sqrt{2}-\sqrt{2-\sqrt{3}} \) + \(2- \sqrt{3}\) \( \sqrt{2}+\sqrt{2+\sqrt{3}} \) }{3} = [/tex3]
[tex3]= \frac{4\sqrt{2} -2 \sqrt{2-\sqrt{3}} + 2 \sqrt{2+\sqrt{3}} - \sqrt{3}\sqrt{2- \sqrt{3}} - \sqrt{3}\sqrt{2 + \sqrt{3}} }{3}[/tex3]
Vamos, agora, analisar algumas parcelas do numerador separadamente
[tex3]-2 \sqrt{2-\sqrt{3}} + 2 \sqrt{2+\sqrt{3}} = 2 \( \sqrt{2+\sqrt{3}} - \sqrt{2-\sqrt{3}}\) = [/tex3]
[tex3]= 2 \( \sqrt{2+\sqrt{3}} - \frac{ 1 }{ \sqrt{2+\sqrt{3}} }\) [/tex3]
[tex3]= 2 \(\frac{ \sqrt{ \(2+ \sqrt{3} \)^2 } - 1 }{ \sqrt{2+\sqrt{3}} }\)[/tex3]
[tex3]= \frac{2 + 2\sqrt{3}}{\sqrt{2+\sqrt{3}}}[/tex3]
e, de forma análoga,
[tex3]-\sqrt{3} \( \sqrt{2- \sqrt{3}} + \sqrt{2 + \sqrt{3}} \) = -\sqrt{3} \( \frac{1 + (\sqrt{2 + \sqrt{3}})^2 }{\sqrt{2 + \sqrt{3}}} \) = -\sqrt{3} \(\frac{ 3+ \sqrt{3} } {\sqrt{2 + \sqrt{3}} } \) = \frac{-3 - 3\sqrt{3}}{ \sqrt{2 + \sqrt{3}} }[/tex3]
Daí,
[tex3]\frac{4\sqrt{2} -2 \sqrt{2-\sqrt{3}} + 2 \sqrt{2+\sqrt{3}} - \sqrt{3}\sqrt{2- \sqrt{3}} - \sqrt{3}\sqrt{2 + \sqrt{3}} }{3} = \frac{4\sqrt{2} + \frac{2 + 2\sqrt{3}}{\sqrt{2+\sqrt{3}}} + \frac{-3 - 3\sqrt{3}}{ \sqrt{2 + \sqrt{3}} } }{3} = [/tex3]
[tex3]= \frac{4\sqrt{2} + \frac{-1 -\sqrt{3}}{ \sqrt{2 + \sqrt{3}} }}{3} = [/tex3]
[tex3]= \frac{ \frac{ 4\sqrt{4+2\sqrt3} \,\, - 1 -\sqrt{3} }{ \sqrt{2 + \sqrt{3}}} }{3}[/tex3]
[tex3]= \frac{ \frac{ 4\sqrt{(1 + \sqrt{3} )^2} \,\, - 1 -\sqrt{3} }{ \sqrt{2 + \sqrt{3}}} }{3}[/tex3]
[tex3]= \frac{ \frac{ 3 + 3\sqrt{3} }{ \sqrt{2 + \sqrt{3}}} }{3}[/tex3]
[tex3]= \frac{ (3 + 3\sqrt{3}) (\sqrt{2 - \sqrt{3}}) }{3}[/tex3]
[tex3]= (1 + \sqrt{3}) \sqrt{2 - \sqrt{3}} [/tex3]
[tex3]= (1 + \sqrt{3}) \sqrt{ \frac{ (1 - \sqrt{3})^2}{2} }[/tex3]
[tex3]= \sqrt{2}[/tex3]
OBSERVAÇÃO: Tem como diminuir as contas em uns 80% se você perceber de início que [tex3]\sqrt{2 - \sqrt{3}} = \sqrt{ \frac{ (1 - \sqrt{3})^2}{2} }[/tex3], eu só fui perceber isso quando tava travando no final e não conseguia fazer mais nada..
Vamos começar analisando o valor de
[tex3]\( \sqrt{2}+\sqrt{2+\sqrt{3}} \) \( \sqrt{2}-\sqrt{2-\sqrt{3}} \) = [/tex3]
[tex3]= 1 - \sqrt{ 4 - 2\sqrt{3} } + \sqrt{ 4 + 2\sqrt{3} }[/tex3]
[tex3]= 1 - \sqrt{ (\sqrt{3} - 1 )^2 } + \sqrt{ (1 + \sqrt{3})^2 }[/tex3]
[tex3]= 1 - (\sqrt{3} - 1) + (1 + \sqrt{3} ) = 3[/tex3]
Segue, daí, que a soma inicial é equivalente a
[tex3]\frac{\(2+ \sqrt{3}\) \( \sqrt{2}-\sqrt{2-\sqrt{3}} \) + \(2- \sqrt{3}\) \( \sqrt{2}+\sqrt{2+\sqrt{3}} \) }{3} = [/tex3]
[tex3]= \frac{4\sqrt{2} -2 \sqrt{2-\sqrt{3}} + 2 \sqrt{2+\sqrt{3}} - \sqrt{3}\sqrt{2- \sqrt{3}} - \sqrt{3}\sqrt{2 + \sqrt{3}} }{3}[/tex3]
Vamos, agora, analisar algumas parcelas do numerador separadamente
[tex3]-2 \sqrt{2-\sqrt{3}} + 2 \sqrt{2+\sqrt{3}} = 2 \( \sqrt{2+\sqrt{3}} - \sqrt{2-\sqrt{3}}\) = [/tex3]
[tex3]= 2 \( \sqrt{2+\sqrt{3}} - \frac{ 1 }{ \sqrt{2+\sqrt{3}} }\) [/tex3]
[tex3]= 2 \(\frac{ \sqrt{ \(2+ \sqrt{3} \)^2 } - 1 }{ \sqrt{2+\sqrt{3}} }\)[/tex3]
[tex3]= \frac{2 + 2\sqrt{3}}{\sqrt{2+\sqrt{3}}}[/tex3]
e, de forma análoga,
[tex3]-\sqrt{3} \( \sqrt{2- \sqrt{3}} + \sqrt{2 + \sqrt{3}} \) = -\sqrt{3} \( \frac{1 + (\sqrt{2 + \sqrt{3}})^2 }{\sqrt{2 + \sqrt{3}}} \) = -\sqrt{3} \(\frac{ 3+ \sqrt{3} } {\sqrt{2 + \sqrt{3}} } \) = \frac{-3 - 3\sqrt{3}}{ \sqrt{2 + \sqrt{3}} }[/tex3]
Daí,
[tex3]\frac{4\sqrt{2} -2 \sqrt{2-\sqrt{3}} + 2 \sqrt{2+\sqrt{3}} - \sqrt{3}\sqrt{2- \sqrt{3}} - \sqrt{3}\sqrt{2 + \sqrt{3}} }{3} = \frac{4\sqrt{2} + \frac{2 + 2\sqrt{3}}{\sqrt{2+\sqrt{3}}} + \frac{-3 - 3\sqrt{3}}{ \sqrt{2 + \sqrt{3}} } }{3} = [/tex3]
[tex3]= \frac{4\sqrt{2} + \frac{-1 -\sqrt{3}}{ \sqrt{2 + \sqrt{3}} }}{3} = [/tex3]
[tex3]= \frac{ \frac{ 4\sqrt{4+2\sqrt3} \,\, - 1 -\sqrt{3} }{ \sqrt{2 + \sqrt{3}}} }{3}[/tex3]
[tex3]= \frac{ \frac{ 4\sqrt{(1 + \sqrt{3} )^2} \,\, - 1 -\sqrt{3} }{ \sqrt{2 + \sqrt{3}}} }{3}[/tex3]
[tex3]= \frac{ \frac{ 3 + 3\sqrt{3} }{ \sqrt{2 + \sqrt{3}}} }{3}[/tex3]
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[tex3]= (1 + \sqrt{3}) \sqrt{2 - \sqrt{3}} [/tex3]
[tex3]= (1 + \sqrt{3}) \sqrt{ \frac{ (1 - \sqrt{3})^2}{2} }[/tex3]
[tex3]= \sqrt{2}[/tex3]
OBSERVAÇÃO: Tem como diminuir as contas em uns 80% se você perceber de início que [tex3]\sqrt{2 - \sqrt{3}} = \sqrt{ \frac{ (1 - \sqrt{3})^2}{2} }[/tex3], eu só fui perceber isso quando tava travando no final e não conseguia fazer mais nada..
"Como sou pouco e sei pouco, faço o pouco que me cabe me dando por inteiro."
Fev 2019
26
09:52
Re: Racionalização e simplificação
Rapaz,
Essa sacada de identificar um quadrado perfeito decompondo parcelas é muito show. Eu nem lembrava mais desse recurso.
Eu tentei resolver por radicais duplos, mas não saiu nem com muita reza. Analisando sua resolução, vi que cometi alguns erros.
Vou deixar aqui a resolução (agora corrigida) por radicais duplos, aproveitando os trechos da sua resolução que, em teoria, seriam comuns à minha se eu não tivesse cometido os erros que cometi, mas, obviamente, o mérito é todo seu.
[tex3]\sqrt{2+\sqrt{3}}=\sqrt{\frac{3}{2}}+\sqrt{\frac{1}{2}}[/tex3]
[tex3]\sqrt{2-\sqrt{3}}=\sqrt{\frac{3}{2}}-\sqrt{\frac{1}{2}}[/tex3]
Daí,
[tex3]\sqrt{2}+\sqrt{2+\sqrt{3}}=\sqrt{2}+\sqrt{\frac{3}{2}}+\sqrt{\frac{1}{2}}[/tex3]
[tex3]\sqrt{2}-\sqrt{2-\sqrt{3}}=\sqrt{2}-\sqrt{\frac{3}{2}}+\sqrt{\frac{1}{2}}[/tex3]
Então,
[tex3]\(\sqrt{2}+\sqrt{2+\sqrt{3}}\)\(\sqrt{2}-\sqrt{2-\sqrt{3}}\)=[/tex3]
[tex3]=\[\(\sqrt{2}+\sqrt{\frac{1}{2}}\)+\sqrt{\frac{3}{2}}\]\[\(\sqrt{2}+\sqrt{\frac{1}{2}}\)-\sqrt{\frac{3}{2}}\]=[/tex3]
[tex3]=\(\sqrt{2}+\sqrt{\frac{1}{2}}\)^2-\(\sqrt{\frac{3}{2}}\)^2=3[/tex3] *Ontem eu cheguei até aqui, mas, por um equívoco meu, havia encontrado outro resultado...
Voltando...
[tex3]=2\[\(\sqrt{\frac{3}{2}}+\sqrt{\frac{1}{2}}\)-\(\sqrt{\frac{3}{2}}-\sqrt{\frac{1}{2}}\)\]=2\cdot2\sqrt{\frac{1}{2}}=\sqrt{\frac{16}{2}}=2\sqrt{2}[/tex3]
E, também de forma análoga,
[tex3]-\sqrt{3}\[\(\sqrt{\frac{3}{2}}-\sqrt{\frac{1}{2}}\)+\(\sqrt{\frac{3}{2}}+\sqrt{\frac{1}{2}}\)\]=-\sqrt{3}\cdot2\sqrt{\frac{3}{2}}=-\sqrt{\frac{36}{2}}=-3\sqrt{2}[/tex3]
Daí
[tex3]\frac{4\sqrt{2}-2\sqrt{2-\sqrt{3}}+2\sqrt{2+\sqrt{3}}-\sqrt{3}\sqrt{2-\sqrt{3}}-\sqrt{3}\sqrt{2+\sqrt{3}}}{3}=\frac{4\sqrt{2}+2\sqrt{2}-3\sqrt{2}}{3}=\sqrt{2}[/tex3]
Essa sacada de identificar um quadrado perfeito decompondo parcelas é muito show. Eu nem lembrava mais desse recurso.
Eu tentei resolver por radicais duplos, mas não saiu nem com muita reza. Analisando sua resolução, vi que cometi alguns erros.
Vou deixar aqui a resolução (agora corrigida) por radicais duplos, aproveitando os trechos da sua resolução que, em teoria, seriam comuns à minha se eu não tivesse cometido os erros que cometi, mas, obviamente, o mérito é todo seu.
[tex3]\sqrt{2+\sqrt{3}}=\sqrt{\frac{3}{2}}+\sqrt{\frac{1}{2}}[/tex3]
[tex3]\sqrt{2-\sqrt{3}}=\sqrt{\frac{3}{2}}-\sqrt{\frac{1}{2}}[/tex3]
Daí,
[tex3]\sqrt{2}+\sqrt{2+\sqrt{3}}=\sqrt{2}+\sqrt{\frac{3}{2}}+\sqrt{\frac{1}{2}}[/tex3]
[tex3]\sqrt{2}-\sqrt{2-\sqrt{3}}=\sqrt{2}-\sqrt{\frac{3}{2}}+\sqrt{\frac{1}{2}}[/tex3]
Então,
[tex3]\(\sqrt{2}+\sqrt{2+\sqrt{3}}\)\(\sqrt{2}-\sqrt{2-\sqrt{3}}\)=[/tex3]
[tex3]=\[\(\sqrt{2}+\sqrt{\frac{1}{2}}\)+\sqrt{\frac{3}{2}}\]\[\(\sqrt{2}+\sqrt{\frac{1}{2}}\)-\sqrt{\frac{3}{2}}\]=[/tex3]
[tex3]=\(\sqrt{2}+\sqrt{\frac{1}{2}}\)^2-\(\sqrt{\frac{3}{2}}\)^2=3[/tex3] *Ontem eu cheguei até aqui, mas, por um equívoco meu, havia encontrado outro resultado...
Levei o cheque-mate quando, ao invés de multiplicar, como você fez, pelas expressões originais, ou seja, [tex3]\sqrt{2}\mp\sqrt{2\mp\sqrt{3}}[/tex3] , multipliquei por [tex3]\sqrt{2}+\sqrt{\frac{1}{2}}\mp\sqrt{\frac{3}{2}}[/tex3] . Fazer isso, apesar de estar correto, realmente faz com que não dê para ir para mais lugar algum...Segue, daí, que a soma inicial é equivalente a
[tex3]\frac{\(2+\sqrt{3}\)\(\sqrt{2}-\sqrt{2-\sqrt{3}}\)+\(2-\sqrt{3}\)\(\sqrt{2}+\sqrt{2+\sqrt{3}}\)}{3}=[/tex3]
Voltando...
Aqui, novamente por radicais duplos[tex3]=\frac{4\sqrt{2}-2\sqrt{2-\sqrt{3}}+2\sqrt{2+\sqrt{3}}-\sqrt{3}\sqrt{2-\sqrt{3}}-\sqrt{3}\sqrt{2+\sqrt{3}} }{3}[/tex3]
Vamos, agora, analisar algumas parcelas do numerador separadamente
[tex3]-2\sqrt{2-\sqrt{3}}+2\sqrt{2+\sqrt{3}}=2\(\sqrt{2+\sqrt{3}}-\sqrt{2-\sqrt{3}}\)=[/tex3]
[tex3]=2\[\(\sqrt{\frac{3}{2}}+\sqrt{\frac{1}{2}}\)-\(\sqrt{\frac{3}{2}}-\sqrt{\frac{1}{2}}\)\]=2\cdot2\sqrt{\frac{1}{2}}=\sqrt{\frac{16}{2}}=2\sqrt{2}[/tex3]
E, também de forma análoga,
[tex3]-\sqrt{3}\[\(\sqrt{\frac{3}{2}}-\sqrt{\frac{1}{2}}\)+\(\sqrt{\frac{3}{2}}+\sqrt{\frac{1}{2}}\)\]=-\sqrt{3}\cdot2\sqrt{\frac{3}{2}}=-\sqrt{\frac{36}{2}}=-3\sqrt{2}[/tex3]
Daí
[tex3]\frac{4\sqrt{2}-2\sqrt{2-\sqrt{3}}+2\sqrt{2+\sqrt{3}}-\sqrt{3}\sqrt{2-\sqrt{3}}-\sqrt{3}\sqrt{2+\sqrt{3}}}{3}=\frac{4\sqrt{2}+2\sqrt{2}-3\sqrt{2}}{3}=\sqrt{2}[/tex3]
Última edição: csmarcelo (Ter 26 Fev, 2019 09:55). Total de 2 vezes.
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