Ensino Médio ⇒ Equação Trigonométrica Tópico resolvido

[mionsk]

[tex3]\sen^{3}x+\cos^{3}x=1[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\sen^{3}x+\cos^{3}x=1[/tex3]

Não possuo gabarito.

[Cardoso1979]

Observe

sen³(x) + cos³(x) = 1

Uma solução:

Recordando que a³ + b³ = (a + b).(a² - ab + b² ), fica;

[sen(x) + cos(x)][sen²(x) - sen(x)cos(x) + cos²(x)] = 1


Mas, sen²(x) + cos²(x) = 1.


[sen(x) + cos(x)][ 1 - sen(x)cos(x) ] = 1

[tex3][sen (x)+cos(x)].[1-\frac{2}{2}.sen (x).cos(x)] =1[/tex3]

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[tex3][sen (x)+cos(x)].[1-\frac{2}{2}.sen (x).cos(x)] =1[/tex3]

Obs1. 2sen(x).cos(x) = sen (2x).

[tex3][sen (x)+cos(x)].[1-\frac{sen(2x)}{2}] =1[/tex3]

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[tex3][sen (x)+cos(x)].[1-\frac{sen(2x)}{2}] =1[/tex3]

( l )


Chame: sen (x) + cos (x) = y ( I I ), então;

[ sen (x) + cos (x) ]^2 = y²

sen²(x) + 2sen(x).cos(x) + cos²(x) = y²

1 + sen (2x) = y²

sen (2x) = y² - 1 ( l l l )


Substituindo ( l l l ) e ( l l ) em ( l ), temos:


[tex3]y.\left(1-\frac{y^2-1}{2}\right)=1[/tex3]

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[tex3]y.\left(1-\frac{y^2-1}{2}\right)=1[/tex3]

y.( 2 - y² + 1 ) = 2

2y - y³ + y = 2

y³ - 3y + 2 = 0

Note que - 3y = - y - 2y , fica;


y³ - y - 2y + 2 = 0

y.( y² - 1 ) - 2( y - 1 ) = 0

y.( y - 1 ).( y + 1 ) - 2.( y - 1 ) = 0

( y - 1 ).[ y.( y + 1 ) - 2 ] = 0

( y - 1 ).( y² + y - 2 ) = 0

Como y = 2y - y , vem;


( y - 1 ).( y² + 2y - y - 2 ) = 0

( y - 1 ).[ y.( y + 2 ) - 1.( y + 2 ) ] = 0

( y - 1 ).[ ( y - 1 ).( y + 2 ) ] = 0

( y - 1 ).( y - 1 ).( y + 2 ) = 0

Logo, y = 1 , y = - 2.


Para y = 1, substituindo em ( l l ),temos:

sen (x) + cos (x) = 1 → × ( √2 )

(√2).sen (x) + (√2).cos (x) = √2 → ÷ 2

[tex3]\frac{\sqrt{2}}{2}.sen (x)+\frac{\sqrt{2}}{2}.cos (x)=\frac{\sqrt{2}}{2}[/tex3]

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[tex3]\frac{\sqrt{2}}{2}.sen (x)+\frac{\sqrt{2}}{2}.cos (x)=\frac{\sqrt{2}}{2}[/tex3]

Como; [tex3]\frac{\sqrt{2}}{2}=cos\left(\frac{π}{4}\right)=sen\left(\frac{π}{4}\right)[/tex3]

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[tex3]\frac{\sqrt{2}}{2}=cos\left(\frac{π}{4}\right)=sen\left(\frac{π}{4}\right)[/tex3]

, vem;


[tex3]cos\left(\frac{π}{4}\right).sen (x)+sen\left(\frac{π}{4}\right).cos(x)=\frac{\sqrt{2}}{2}[/tex3]

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[tex3]cos\left(\frac{π}{4}\right).sen (x)+sen\left(\frac{π}{4}\right).cos(x)=\frac{\sqrt{2}}{2}[/tex3]

Ou

[tex3]sen (x).cos\left(\frac{π}{4}\right)+sen\left(\frac{π}{4}\right).cos(x)=\frac{\sqrt{2}}{2}[/tex3]

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[tex3]sen (x).cos\left(\frac{π}{4}\right)+sen\left(\frac{π}{4}\right).cos(x)=\frac{\sqrt{2}}{2}[/tex3]

Obs.2- sen(a + b) = sen(a). cos(b) + sen(b).cos(a)

[tex3]sen\left(x+\frac{π}{4}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}[/tex3]

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[tex3]sen\left(x+\frac{π}{4}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}[/tex3]

Como [tex3]\frac{\sqrt{2}}{2}=sen\left(\frac{π}{4}+2kπ\right)=sen\left(\frac{3π}{4}+2kπ\right)[/tex3]

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[tex3]\frac{\sqrt{2}}{2}=sen\left(\frac{π}{4}+2kπ\right)=sen\left(\frac{3π}{4}+2kπ\right)[/tex3]

Assim;

[tex3]x+\frac{π}{4}=\frac{π}{4}+2kπ[/tex3]

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[tex3]x+\frac{π}{4}=\frac{π}{4}+2kπ[/tex3]

x = 2kπ


Ou


[tex3]x+\frac{π}{4}=\frac{3π}{4}+2kπ[/tex3]

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[tex3]x+\frac{π}{4}=\frac{3π}{4}+2kπ[/tex3]

[tex3]x=\frac{3π}{4}-\frac{π}{4}+2kπ[/tex3]

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[tex3]x=\frac{3π}{4}-\frac{π}{4}+2kπ[/tex3]

[tex3]x=\frac{π}{2}+2kπ[/tex3]

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[tex3]x=\frac{π}{2}+2kπ[/tex3]

Substituindo agora y = - 2 em ( l l ) , você irá encontrar [tex3]sen\left(x+\frac{π}{4}\right)=-\sqrt{2}[/tex3]

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[tex3]sen\left(x+\frac{π}{4}\right)=-\sqrt{2}[/tex3]

o que não convém, pois , a função sen(x) varia no intervalo [ - 1 , 1 ].

Portanto,

S = { x [tex3]\in \mathbb{R}[/tex3]

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[tex3]\in \mathbb{R}[/tex3]

| x = 2kπ ou [tex3]x=\frac{π}{2}+2kπ[/tex3]

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[tex3]x=\frac{π}{2}+2kπ[/tex3]

, k [tex3]\in [/tex3]

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[tex3]\in [/tex3]

Z }.



Bons estudos!

[MateusQqMD]

Vou deixar um tópico com uma outra ideia que o erihh3 mostrou uma vez e eu achei muito boa

viewtopic.php?f=8&t=68429

[Cardoso1979]

Vou deixar um tópico com uma outra ideia que o erihh3 mostrou uma vez e eu achei muito boa

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