Seja a função f definida por:
[tex3]\begin{cases}
f:\mathbb{R}-\{\frac{3}{4}\}\rightarrow \mathbb{R} \\
f(x)=\frac{3x+5}{4x-3}
\end{cases}[/tex3]
Verifique que f não é sobrejetora.
Aliás, como fazer o gráfico dessa função?
Ensino Médio ⇒ (Aref) Função Sobrejetora
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Fev 2019
17
18:04
Re: (Aref) Função Sobrejetora
Olá,
Sabemos que uma função é sobrejetora quando o seu contradomínio é igual ao seu conjunto imagem. Uma boa ideia para verificar se uma função [tex3]f[/tex3] é sobre é descobrir a inversa e a partir disso avaliar se o domínio de [tex3]f^{-1}[/tex3] engloba todo o contradomínio de [tex3]f[/tex3]
Assim, vamos começar descobrindo [tex3]f^{-1}[/tex3]
[tex3]f(x)=\frac{3x+5}{4x-3}[/tex3]
[tex3]y = \frac{3x+5}{4x-3}[/tex3]
Trocando [tex3]y[/tex3] com [tex3]x[/tex3] , e isolando [tex3]y[/tex3] , temos
[tex3]x = \frac{3y+5}{4y-3}[/tex3]
[tex3]y = \frac{-3x -5}{3 -4x} \,\,\, \Rightarrow \,\,\, f^{-1} = \frac{-3x -5}{3 -4x} [/tex3]
Note, agora, que [tex3]\frac{3}{4}[/tex3] faz parte do contradomínio de [tex3]f[/tex3] , mas não há quem "mande flecha nele", isso porque o [tex3]\frac{3}{4}[/tex3] não participa do domínio da inversa.
Para verificar, façamos [tex3]f(x) = \frac{3}{4}[/tex3]
[tex3]f(x)=\frac{3x+5}{4x-3}[/tex3]
[tex3]\frac{3x+5}{4x-3} = \frac{3}{4}[/tex3]
[tex3]12x + 20 = 12x - 9[/tex3]
[tex3]20 = -9[/tex3] , o que é um absurdo.
Sabemos que uma função é sobrejetora quando o seu contradomínio é igual ao seu conjunto imagem. Uma boa ideia para verificar se uma função [tex3]f[/tex3] é sobre é descobrir a inversa e a partir disso avaliar se o domínio de [tex3]f^{-1}[/tex3] engloba todo o contradomínio de [tex3]f[/tex3]
Assim, vamos começar descobrindo [tex3]f^{-1}[/tex3]
[tex3]f(x)=\frac{3x+5}{4x-3}[/tex3]
[tex3]y = \frac{3x+5}{4x-3}[/tex3]
Trocando [tex3]y[/tex3] com [tex3]x[/tex3] , e isolando [tex3]y[/tex3] , temos
[tex3]x = \frac{3y+5}{4y-3}[/tex3]
[tex3]y = \frac{-3x -5}{3 -4x} \,\,\, \Rightarrow \,\,\, f^{-1} = \frac{-3x -5}{3 -4x} [/tex3]
Note, agora, que [tex3]\frac{3}{4}[/tex3] faz parte do contradomínio de [tex3]f[/tex3] , mas não há quem "mande flecha nele", isso porque o [tex3]\frac{3}{4}[/tex3] não participa do domínio da inversa.
Para verificar, façamos [tex3]f(x) = \frac{3}{4}[/tex3]
[tex3]f(x)=\frac{3x+5}{4x-3}[/tex3]
[tex3]\frac{3x+5}{4x-3} = \frac{3}{4}[/tex3]
[tex3]12x + 20 = 12x - 9[/tex3]
[tex3]20 = -9[/tex3] , o que é um absurdo.
"Como sou pouco e sei pouco, faço o pouco que me cabe me dando por inteiro."
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Fev 2019
17
22:04
Re: (Aref) Função Sobrejetora
Não vou saber te responder essa. Eu escreveria alguns casos iniciais, [tex3]x = \pm 1, \,\, \pm5, \,\, ...[/tex3] e tentaria enxergar alguma coisa
Última edição: MateusQqMD (Dom 17 Fev, 2019 22:05). Total de 1 vez.
"Como sou pouco e sei pouco, faço o pouco que me cabe me dando por inteiro."
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