Ensino Médio ⇒ Lei dos Senos

[Sonim194]

Uma longa estrada retilínea acompanha uma bela praia. Ao longe se vê uma enorme pedra dentro do mar. Lurdinha, curiosa, deseja saber qual a distância da pedra à estrada. Em um ponto da estrada, com ajuda de um teodolito*, Lurdinha verifica que a reta que liga o ponto onde ela está à pedra, forma um ângulo de 45º com a estrada. Após percorrer 5 km na estrada, Lurdinha para e, mais uma vez, com o teodolito, verifica que a reta ligando o ponto onde ela se encontra à pedra forma um ângulo de 30º com a estrada. Usando essas informações, após alguns cálculos, Lurdinha determina a distância procurada. Qual é essa distância, em quilômetros?

Resposta

---

5/(1+√3)

[Babi123]

Seja o ponto [tex3]I[/tex3]

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[tex3]I[/tex3]

a pedra. O Problema se resume a figura a seguir:
[tex3][/tex3]

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[tex3][/tex3]

6.png (4.11 KiB) Exibido 2142 vezes

Ou seja, queremos encontrar a distância [tex3]AI[/tex3]

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[tex3]AI[/tex3]

(comprimento [tex3]AI[/tex3]

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[tex3]AI[/tex3]

).

Do triângulo Retângulo [tex3]\triangle ACI[/tex3]

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[tex3]\triangle ACI[/tex3]

, temos:
[tex3]\tg30°=\frac{y}{5+x}\\
\frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{y}{5+x}\\
(5+x)\cdot\sqrt{3}=3y\\
5\sqrt{3}+x\sqrt{3}=3y\\
x\sqrt{3}=3y-5\sqrt{3}\\
\boxed{\boxed{x=\frac{3y-5\sqrt{3}}{\sqrt{3}}}} \ \ (i)[/tex3]

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[tex3]\tg30°=\frac{y}{5+x}\\
\frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{y}{5+x}\\
(5+x)\cdot\sqrt{3}=3y\\
5\sqrt{3}+x\sqrt{3}=3y\\
x\sqrt{3}=3y-5\sqrt{3}\\
\boxed{\boxed{x=\frac{3y-5\sqrt{3}}{\sqrt{3}}}} \ \ (i)[/tex3]

Do triângulo Retângulo [tex3]\triangle ABI[/tex3]

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[tex3]\triangle ABI[/tex3]

, temos:
[tex3]\tg45°=\frac{y}{x}\\
1=\frac{y}{x}\\
\boxed{\boxed{x=y}} \ \ (ii)[/tex3]

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[tex3]\tg45°=\frac{y}{x}\\
1=\frac{y}{x}\\
\boxed{\boxed{x=y}} \ \ (ii)[/tex3]

Fazendo [tex3](i)=(ii)[/tex3]

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[tex3](i)=(ii)[/tex3]

, obtemos:
[tex3]x=\frac{3y-5\sqrt{3}}{\sqrt{3}}\\
y=\frac{3y-5\sqrt{3}}{\sqrt{3}}\\
y\sqrt{3}-3y=-5\sqrt{3}\\
y(\sqrt{3}-3)=-5\sqrt{3}\\
y=\frac{-5\sqrt{3}}{\sqrt{3}-3}\\
y=\(\frac{5\sqrt{3}}{3-\sqrt{3}}\)\cdot\(\frac{3+\sqrt{3}}{3+\sqrt{3}}\)\\
y=\frac{15\sqrt{3}+5\sqrt{9}}{9-3}\\
y=\frac{15\sqrt{3}+15}{6}\\
y=\frac{15\cdot(\sqrt{3}+1)}{6}\\
y=\frac{5\cdot(1+\sqrt{3})}{2}[/tex3]

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[tex3]x=\frac{3y-5\sqrt{3}}{\sqrt{3}}\\
y=\frac{3y-5\sqrt{3}}{\sqrt{3}}\\
y\sqrt{3}-3y=-5\sqrt{3}\\
y(\sqrt{3}-3)=-5\sqrt{3}\\
y=\frac{-5\sqrt{3}}{\sqrt{3}-3}\\
y=\(\frac{5\sqrt{3}}{3-\sqrt{3}}\)\cdot\(\frac{3+\sqrt{3}}{3+\sqrt{3}}\)\\
y=\frac{15\sqrt{3}+5\sqrt{9}}{9-3}\\
y=\frac{15\sqrt{3}+15}{6}\\
y=\frac{15\cdot(\sqrt{3}+1)}{6}\\
y=\frac{5\cdot(1+\sqrt{3})}{2}[/tex3]

Portanto, a distância da pedra à estrada é:
[tex3]\boxed{\boxed{y=\frac{5\cdot(1+\sqrt{3})}{2}}}[/tex3]

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[tex3]\boxed{\boxed{y=\frac{5\cdot(1+\sqrt{3})}{2}}}[/tex3]

Seu gabarito está errado!

[Babi123]

Bom, ainda não consegui ver erro na minha solução, pois a distância da pedra próximo ao mar à ilha tem que ser a perpendicular [tex3]AI[/tex3]

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[tex3]AI[/tex3]

. Se alguém ver o erro corrija-me.

[snooplammer]

Sua solução está certa, o gabarito está errado

[Sonim194]

Bom, eu acabei percebendo que existe dois triângulos possíveis que podemos imaginar para essa situação: o primeiro que o senhor apresentou aqui e o outro no qual o ponto A está entre os pontos C e B. Então teríamos a seguinte situação: a pessoa começa no ponto B que apresenta 45° com a estrada, logo em seguida ela continua andando e acaba passando pelo ponto A( que faz 90° com a estrada). Essa mesma pessoa, depois de passar pelo ponto A, chega ao ponto C que dista 5km do ponto B. Assim teríamos:
BA=x / AC= 5-x / IA=Y( o que queremos encontrar).
Usando a mesma lógica utilizada, descobriríamos que X=Y( já que temos que a Tg45°= Y/X ---> Y=X). Além disso, temos:
Tg30°= Y/5-X ----> 1/√3=Y/5-X (mas como Y=X)---->
5 - Y = √3Y ----> Y(√3 + 1) = 5 ---> X= 5/(√3 + 1)

[Babi123]

Pois é Sonim194, se assim for, eu acho q a questão está confusa (mal elaborada), pois o enunciado não está nada claro com relação para qual sentido Lurdinha está "caminhando" na estrada ("norte/sul").