Ensino Médio ⇒ (Aref) Demonstração de Irracionalidade

[estudante9]

Sendo a e b números racionais positivos, não quadrados perfeitos, com [tex3]a\neq b[/tex3]

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[tex3]a\neq b[/tex3]

, mostre que os números [tex3]s=\sqrt{a}+\sqrt b \ e \ d=\sqrt{a}-\sqrt b[/tex3]

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[tex3]s=\sqrt{a}+\sqrt b \ e \ d=\sqrt{a}-\sqrt b[/tex3]

são irracionais.

[erihh3]

Vamos separar em 4 possibilidades:

a) s e d são racionais;
b) d é racional e s é irracional;
c) s é racional e d é irracional;
d) s e d são irracionais.

Sabemos que

[tex3]s=\sqrt{a}+\sqrt b[/tex3]

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[tex3]s=\sqrt{a}+\sqrt b[/tex3]

[tex3]d=\sqrt{a}-\sqrt b[/tex3]

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[tex3]d=\sqrt{a}-\sqrt b[/tex3]

Somando e subtraindo as equações, teremos o seguinte sistema:

[tex3]\begin{cases}
s+d=2\sqrt{a}\\
s-d=2\sqrt b
\end{cases}[/tex3]

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[tex3]\begin{cases}
s+d=2\sqrt{a}\\
s-d=2\sqrt b
\end{cases}[/tex3]

Analisando os casos

a)
Seja [tex3]s=\frac{p}{q}[/tex3]

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[tex3]s=\frac{p}{q}[/tex3]

e [tex3]d=\frac{r}{t}[/tex3]

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[tex3]d=\frac{r}{t}[/tex3]

onde [tex3]p,q,r,t \in \mathbb{Z}[/tex3]

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[tex3]p,q,r,t \in \mathbb{Z}[/tex3]

.

[tex3]\frac{p}{q}+\frac{r}{t}=2\sqrt a[/tex3]

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[tex3]\frac{p}{q}+\frac{r}{t}=2\sqrt a[/tex3]

[tex3]\frac{pt+rq}{qt}=2\sqrt a[/tex3]

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[tex3]\frac{pt+rq}{qt}=2\sqrt a[/tex3]

Sendo os números do numerador e do numerador sendo formados apenas por números inteiros, concluímos que [tex3]2\sqrt a[/tex3]

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[tex3]2\sqrt a[/tex3]

pode ser escrito em forma de fração de números inteiros. Isso o torna um número racional. No entanto, isso é um ABSURDO! Haja vista que foi dito no enunciado que [tex3]\sqrt a[/tex3]

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[tex3]\sqrt a[/tex3]

é irracional.

b)

[tex3]d=\frac{r}{t}[/tex3]

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[tex3]d=\frac{r}{t}[/tex3]

Multiplicando as primeiras equações dadas, tem-se:

[tex3]sd=(\sqrt a+\sqrt b)(\sqrt a-\sqrt b)[/tex3]

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[tex3]sd=(\sqrt a+\sqrt b)(\sqrt a-\sqrt b)[/tex3]

[tex3]sd=a-b[/tex3]

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[tex3]sd=a-b[/tex3]

[tex3]s.\frac{r}{t}=a-b[/tex3]

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[tex3]s.\frac{r}{t}=a-b[/tex3]

[tex3]s=\frac{(a-b)t}{r}[/tex3]

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[tex3]s=\frac{(a-b)t}{r}[/tex3]

(a-b).t é a multiplicação e soma de números inteiros, logo também é inteiro. Além disso, r também é inteiro. Com isso, s é um número racional. ABSURDO! Haja vista que a nossa hipótese é que ele é irracional.

c)

Análogo ao que foi analisado em b).

d)

A única alternativa que é válida é que s e d são irracionais.

Isso pode ser facilmente visto pela equação do caso b).

[tex3]sd=a-b[/tex3]

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[tex3]sd=a-b[/tex3]

[tex3]s=\frac{a-b}{d}[/tex3]

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[tex3]s=\frac{a-b}{d}[/tex3]

Sendo [tex3]a-b[/tex3]

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[tex3]a-b[/tex3]

inteiro e [tex3]d[/tex3]

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[tex3]d[/tex3]

irracional, [tex3]s[/tex3]

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[tex3]s[/tex3]

também será um número irracional. OK!