Olá, Comunidade!
Vocês devem ter notado que o site ficou um período fora do ar (do dia 26 até o dia 30 de maio de 2024).
Consegui recuperar tudo, e ainda fiz um UPGRADE no servidor! Agora estamos em um servidor dedicado no BRASIL!
Isso vai fazer com que o acesso fique mais rápido (espero
)
Já arrumei os principais bugs que aparecem em uma atualização!
Mas, se você encontrar alguma coisa diferente, que não funciona direito, me envie uma MP avisando que eu arranjo um tempo pra arrumar!
Vamos crescer essa comunidade juntos
Grande abraço a todos,
Prof. Caju
Vocês devem ter notado que o site ficou um período fora do ar (do dia 26 até o dia 30 de maio de 2024).
Consegui recuperar tudo, e ainda fiz um UPGRADE no servidor! Agora estamos em um servidor dedicado no BRASIL!
Isso vai fazer com que o acesso fique mais rápido (espero
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Prof. Caju
Ensino Médio ⇒ (Aref) Demonstração de Irracionalidade
Moderador: [ Moderadores TTB ]
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estudante9
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Fev 2019
15
18:41
(Aref) Demonstração de Irracionalidade
Sendo a e b números racionais positivos, não quadrados perfeitos, com [tex3]a\neq b[/tex3]
, mostre que os números [tex3]s=\sqrt{a}+\sqrt b \ e \ d=\sqrt{a}-\sqrt b[/tex3]
são irracionais.
-
erihh3
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Fev 2019
16
21:35
Re: (Aref) Demonstração de Irracionalidade
Vamos separar em 4 possibilidades:
a) s e d são racionais;
b) d é racional e s é irracional;
c) s é racional e d é irracional;
d) s e d são irracionais.
Sabemos que
[tex3]s=\sqrt{a}+\sqrt b[/tex3]
[tex3]d=\sqrt{a}-\sqrt b[/tex3]
Somando e subtraindo as equações, teremos o seguinte sistema:
[tex3]\begin{cases}
s+d=2\sqrt{a}\\
s-d=2\sqrt b
\end{cases}[/tex3]
Analisando os casos
a)
Seja [tex3]s=\frac{p}{q}[/tex3] e [tex3]d=\frac{r}{t}[/tex3] onde [tex3]p,q,r,t \in \mathbb{Z}[/tex3] .
[tex3]\frac{p}{q}+\frac{r}{t}=2\sqrt a[/tex3]
[tex3]\frac{pt+rq}{qt}=2\sqrt a[/tex3]
Sendo os números do numerador e do numerador sendo formados apenas por números inteiros, concluímos que [tex3]2\sqrt a[/tex3] pode ser escrito em forma de fração de números inteiros. Isso o torna um número racional. No entanto, isso é um ABSURDO! Haja vista que foi dito no enunciado que [tex3]\sqrt a[/tex3] é irracional.
b)
[tex3]d=\frac{r}{t}[/tex3]
Multiplicando as primeiras equações dadas, tem-se:
[tex3]sd=(\sqrt a+\sqrt b)(\sqrt a-\sqrt b)[/tex3]
[tex3]sd=a-b[/tex3]
[tex3]s.\frac{r}{t}=a-b[/tex3]
[tex3]s=\frac{(a-b)t}{r}[/tex3]
(a-b).t é a multiplicação e soma de números inteiros, logo também é inteiro. Além disso, r também é inteiro. Com isso, s é um número racional. ABSURDO! Haja vista que a nossa hipótese é que ele é irracional.
c)
Análogo ao que foi analisado em b).
d)
A única alternativa que é válida é que s e d são irracionais.
Isso pode ser facilmente visto pela equação do caso b).
[tex3]sd=a-b[/tex3]
[tex3]s=\frac{a-b}{d}[/tex3]
Sendo [tex3]a-b[/tex3] inteiro e [tex3]d[/tex3] irracional, [tex3]s[/tex3] também será um número irracional. OK!
a) s e d são racionais;
b) d é racional e s é irracional;
c) s é racional e d é irracional;
d) s e d são irracionais.
Sabemos que
[tex3]s=\sqrt{a}+\sqrt b[/tex3]
[tex3]d=\sqrt{a}-\sqrt b[/tex3]
Somando e subtraindo as equações, teremos o seguinte sistema:
[tex3]\begin{cases}
s+d=2\sqrt{a}\\
s-d=2\sqrt b
\end{cases}[/tex3]
Analisando os casos
a)
Seja [tex3]s=\frac{p}{q}[/tex3] e [tex3]d=\frac{r}{t}[/tex3] onde [tex3]p,q,r,t \in \mathbb{Z}[/tex3] .
[tex3]\frac{p}{q}+\frac{r}{t}=2\sqrt a[/tex3]
[tex3]\frac{pt+rq}{qt}=2\sqrt a[/tex3]
Sendo os números do numerador e do numerador sendo formados apenas por números inteiros, concluímos que [tex3]2\sqrt a[/tex3] pode ser escrito em forma de fração de números inteiros. Isso o torna um número racional. No entanto, isso é um ABSURDO! Haja vista que foi dito no enunciado que [tex3]\sqrt a[/tex3] é irracional.
b)
[tex3]d=\frac{r}{t}[/tex3]
Multiplicando as primeiras equações dadas, tem-se:
[tex3]sd=(\sqrt a+\sqrt b)(\sqrt a-\sqrt b)[/tex3]
[tex3]sd=a-b[/tex3]
[tex3]s.\frac{r}{t}=a-b[/tex3]
[tex3]s=\frac{(a-b)t}{r}[/tex3]
(a-b).t é a multiplicação e soma de números inteiros, logo também é inteiro. Além disso, r também é inteiro. Com isso, s é um número racional. ABSURDO! Haja vista que a nossa hipótese é que ele é irracional.
c)
Análogo ao que foi analisado em b).
d)
A única alternativa que é válida é que s e d são irracionais.
Isso pode ser facilmente visto pela equação do caso b).
[tex3]sd=a-b[/tex3]
[tex3]s=\frac{a-b}{d}[/tex3]
Sendo [tex3]a-b[/tex3] inteiro e [tex3]d[/tex3] irracional, [tex3]s[/tex3] também será um número irracional. OK!
Ciclo Básico - IME
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