Ensino MédioEquações trigonométricas Tópico resolvido

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Baguncinha
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Fev 2019 15 18:11

Equações trigonométricas

Mensagem não lida por Baguncinha »

[tex3]\sqrt{3}\sen^{2}x-2\sen x\cos x-\sqrt{3}\cos^{2}x=-\sqrt{2}[/tex3]

Onde estou errando?
Minha Solução


[tex3]\sqrt{3}\tg^{2}x-2\tg x-\sqrt{3}=-\sqrt{2}(1+\tg^{2}x)[/tex3]
[tex3]\tg^{2}x(\sqrt{3}+\sqrt{2})-2\tg x+(\sqrt{2}-\sqrt{3})=0[/tex3]
[tex3]x=\arctg(\sqrt{2}+\sqrt{3})+k\pi, \,\,\,k\in Z[/tex3]
Gabarito

[tex3]S=\left\{x\in R\,\,\bigg|\,\,x=-\frac{\pi }{24}+k\pi \,\,\text{ ou }\,\, x=\frac{5\pi }{24}+k\pi, \,\,\,k\in Z\right\}[/tex3]




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Cardoso1979
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Fev 2019 15 21:20

Re: Equações trigonométricas

Mensagem não lida por Cardoso1979 »

Observe

Uma solução:

√(3).sen²(x) - 2sen(x).cos (x) - √(3).cos²(x) = - √2

Arrumando...

√(3).sen²(x) - √(3).cos²(x) - 2sen(x).cos (x) = - √2 → × ( - 1 )

√(3).[ cos²(x) - sen²(x) ] + 2.sen(x).cos (x) = √2

√(3).cos (2x) + sen (2x) = √2 → × [tex3]\frac{1}{2}[/tex3]

[tex3]\frac{\sqrt{3}}{2}.cos (2x)+\frac{1}{2}.sen (2x)=\frac{\sqrt{2}}{2}[/tex3]

[tex3]cos\left(\frac{π}{6}\right).cos (2x)+sen\left(\frac{π}{6}\right).sen (2x)=\frac{\sqrt{2}}{2}[/tex3]

Ou

[tex3]cos (2x).cos\left(\frac{π}{6}\right)+sen (2x).sen\left(\frac{π}{6}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}[/tex3]


Recordando que :

cos ( a - b ) = cos(a).cos(b) + sen(a).sen(b)

Daí;

[tex3]cos\left(2x-\frac{π}{6}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}[/tex3]

Como [tex3]\frac{\sqrt{2}}{2}=cos\left(±\frac{π}{4}+2k\pi \right)[/tex3] , com k [tex3]\in [/tex3] Z , podemos escrever:

[tex3]2x-\frac{π}{6}=\frac{π}{4}+2kπ[/tex3]

[tex3]2x=\frac{3π+2π}{12}+2kπ[/tex3]

[tex3]x=\frac{5π}{24}+kπ[/tex3]


Ou


[tex3]2x-\frac{π}{6}=-\frac{π}{4}+2kπ[/tex3]

[tex3]2x=\frac{2π-3π}{12}+2kπ[/tex3]

[tex3]x=-\frac{π}{24}+kπ[/tex3]


Portanto,

[tex3]S=\left\{x\in R\,\,\bigg|\,\,x=-\frac{\pi }{24}+k\pi \,\,\text{ ou }\,\, x=\frac{5\pi }{24}+k\pi, \,\,\,k\in Z\right\}[/tex3]


Nota

A solução de uma equação cos x é do tipo:

[tex3]S=\left\{x\in R\,\,\bigg|\,\,x=±\alpha +2k\pi, \,\,\,k\in Z\right\}[/tex3]


Bons estudos!




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