Ensino Médio(Aref) Função Quadrática Tópico resolvido

Problemas sobre assuntos estudados no Ensino Médio devem ser postados aqui. Se o problema for de Vestibular, poste-o no fórum Pré-Vestibular

Moderador: [ Moderadores TTB ]

Avatar do usuário
Autor do Tópico
estudante9
sênior
Mensagens: 37
Registrado em: Qua 02 Jan, 2019 21:48
Última visita: 19-09-20
Fev 2019 03 01:14

(Aref) Função Quadrática

Mensagem não lida por estudante9 »

Considere a função quadrática definida por:

[tex3]f(x)=(3a-2)x^2+2ax+3a[/tex3]

Determine a para que a equação [tex3]f(x)=0[/tex3] admita uma raiz e uma só "entre" -1 e 0.
Resposta

[tex3]0< a<\frac{1}{2}[/tex3]

Última edição: estudante9 (Dom 03 Fev, 2019 01:15). Total de 1 vez.



Avatar do usuário
MateusQqMD
5 - Mestre
Mensagens: 2693
Registrado em: Qui 16 Ago, 2018 19:15
Última visita: 21-02-24
Localização: Fortaleza/CE
Fev 2019 03 03:16

Re: (Aref) Função Quadrática

Mensagem não lida por MateusQqMD »

Seja [tex3]f(X)=(3a-2)X^2+2aX+3a[/tex3]

Da condição de existência de [tex3]f(X)[/tex3] , temos [tex3]3a - 2 \neq 0\,\,\, \Longleftrightarrow\,\,\, a \neq \frac{2}{3}[/tex3]

Sabemos ainda que para as raízes serem reais devemos ter discriminante maior ou igual a zero,

[tex3]\Delta = (2a)^2 - 4(3a -2)(3a) \geq 0 [/tex3]

[tex3]\Delta = -32a^2 +24a \geq 0 [/tex3]

[tex3]\Delta = -32a^2 +24a \geq 0\,\,\, \Rightarrow \,\,\, 0 \leq a \leq \frac{3}{4}[/tex3]

Por fim, pelo Teorema de Bolzano
Se tivermos uma função [tex3]f[/tex3] , contínua num intervalo ]a, b[, e se [tex3]f(a).f(b) < 0[/tex3] , então existe uma quantidade ímpar de raízes nesse intervalo.
Segue, daí, que, por [tex3]f[/tex3] ser do segundo grau, essa raiz será única

[tex3]f(-1)\cdot f(0) < 0 [/tex3]

[tex3](4a -2)(3a) < 0\,\,\, \Rightarrow \,\,\, 0 < a < \frac{1}{2}[/tex3]



"Como sou pouco e sei pouco, faço o pouco que me cabe me dando por inteiro."

Responder
  • Tópicos Semelhantes
    Respostas
    Exibições
    Última msg

Voltar para “Ensino Médio”