Ensino Médio ⇒ Geometria Plana: Quadriláteros Tópico resolvido

[olgario]

Os lados de um retângulo são dados por números inteiros. Qual será o comprimento desses lados para que o perímetro e a superfície deste retângulo sejam numericamente iguais?

[fabit]

Sejam [tex3]m[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]m[/tex3]

e [tex3]n[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]n[/tex3]

os lados do retângulo.

• [tex3]\begin{array}{rl} 2m+2n=mn & \Longrightarrow 2m-mn=-2n\\
  &\Longrightarrow m(2-n)=-2n \\
  &\Longrightarrow m=\frac{2n}{n-2} \\
  &\Longrightarrow m=\frac{2n-4+4}{n-2} \\
  &\Longrightarrow m=\frac{2(n-2)}{n-2}+\frac{4}{n-2}\\
  &\Longrightarrow m=2+\frac{4}{n-2}.\end{array}[/tex3]

  Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

  [tex3]\begin{array}{rl} 2m+2n=mn & \Longrightarrow 2m-mn=-2n\\
&\Longrightarrow m(2-n)=-2n \\
&\Longrightarrow m=\frac{2n}{n-2} \\
&\Longrightarrow m=\frac{2n-4+4}{n-2} \\
&\Longrightarrow m=\frac{2(n-2)}{n-2}+\frac{4}{n-2}\\
&\Longrightarrow m=2+\frac{4}{n-2}.\end{array}[/tex3]

Como [tex3]m[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]m[/tex3]

e [tex3]n[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]n[/tex3]

são naturais não-nulos, [tex3]n-2[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]n-2[/tex3]

deve ser divisor de [tex3]4.[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]4.[/tex3]

Assim,

• [tex3]n-2=4\Longrightarrow n=6 \text{ e } m=3[/tex3]

  Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

  [tex3]n-2=4\Longrightarrow n=6 \text{ e } m=3[/tex3]

  
  [tex3]n-2=2\Longrightarrow n=4 \text{ e } m=4[/tex3]

  Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

  [tex3]n-2=2\Longrightarrow n=4 \text{ e } m=4[/tex3]

  
  [tex3]n-2=1\Longrightarrow n=3 \text{ e } m=6[/tex3]

  Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

  [tex3]n-2=1\Longrightarrow n=3 \text{ e } m=6[/tex3]

Resposta: [tex3]3[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]3[/tex3]

e [tex3]6[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]6[/tex3]

ou [tex3]4[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]4[/tex3]

e [tex3]4.[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]4.[/tex3]