Ensino Médio

Se A pertence aos inteiros não nulos e -2005 [tex3]\leq [/tex3] A [tex3]\leq[/tex3] 2005, o número de raízes da equação:

[tex3]\frac{A²}{x(x+1)} + \frac{A²}{(x+1)(x+2)} + \frac{A²}{(x+2)(x+3)} + \frac{A²}{(x+3)(x+4)} + \frac{A²}{(x+4)(x+5)}[/tex3] = 1

A)2005
B)2006
C)4010
D)4011
E)4012

Resposta

gab: C

Resolução
colocando [tex3]A^{2}[/tex3] em evidencia,temos:
[tex3]A^{2}[\frac{1}{x(x+1)}+\frac{1}{(x+1)(x+2)}+\frac{1}{(x+2)(x+3)}+\frac{1}{(x+3)(x+4)}+\frac{1}{(x+4)(x+5)}]=1[/tex3]
[tex3](\frac{1}{x}-\frac{1}{x+1})+(\frac{1}{x+1}-\frac{1}{x+2})+(\frac{1}{x+2}-\frac{1}{x+3})+(\frac{1}{x+3}-\frac{1}{x+4})+(\frac{1}{x+4}-\frac{1}{x+4})=\frac{1}{A^2}[/tex3]
Cancelando os termos simétricos,resulta:
[tex3]\frac{1}{x}-\frac{1}{x+5}=\frac{1}{A^2}[/tex3]
[tex3]\frac{\cancel x+5-\cancel x}{x(x+5)}=\frac{1}{A^2}[/tex3]
[tex3]\frac{5}{x^2+5x}=\frac{1}{A^2}[/tex3]
[tex3]x^{2}+5x-5A^2=0[/tex3] (1)
Para que a equação quadrática (1) tenha raízes reais,sabemos que o delta deve ser maior ou igual a zero.Logo:
[tex3]\Delta \geq 0[/tex3]
[tex3]5^{2}-4.1.(-5A^2)\geq 0[/tex3]
[tex3]25+20A^2\geq 0[/tex3]
[tex3]20A^2\geq -25[/tex3]
[tex3]A^{2}\geq -\frac{25}{20}[/tex3]
Que é verdade para todo inteiro A.
Então,a questão se reduz a encontrar todos os valores de A entre -2005 e 2005,que são:2005-(-2005)=4010

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