Ensino Médio ⇒ Equações do 2 grau Tópico resolvido

[guiaguiarsan]

O valor de X que satisfaz a equação ([tex3]\sqrt[3]{5\sqrt{2}+7}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\sqrt[3]{5\sqrt{2}+7}[/tex3]

)^x - ([tex3]\sqrt[3]{5\sqrt{2}-7}[/tex3]

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[tex3]\sqrt[3]{5\sqrt{2}-7}[/tex3]

)^x =140 [tex3]\sqrt{2}[/tex3]

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[tex3]\sqrt{2}[/tex3]

é


^x = elevado a X

A)2
b)3
c)4
d)5
e)6

Resposta

---

gabarito E

[rodBR]

Fazendo:
[tex3]\(\sqrt[3]{5\sqrt{2}+7}\)^x=k\implies \(\sqrt[3]{5\sqrt{2}-7}\)^x=\frac{1}{k}[/tex3]

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[tex3]\(\sqrt[3]{5\sqrt{2}+7}\)^x=k\implies \(\sqrt[3]{5\sqrt{2}-7}\)^x=\frac{1}{k}[/tex3]

Então, a equação passa a ser:
[tex3]k-\frac{1}{k}=140\sqrt{2}\\
k^2-1=140\sqrt{2}k\\
k^2-140\sqrt{2}k-1=0[/tex3]

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[tex3]k-\frac{1}{k}=140\sqrt{2}\\
k^2-1=140\sqrt{2}k\\
k^2-140\sqrt{2}k-1=0[/tex3]

[tex3]∆=140^2\cdot2-4\\
∆=39204[/tex3]

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[tex3]∆=140^2\cdot2-4\\
∆=39204[/tex3]

As raízes serão:
[tex3]k_1=\frac{140\sqrt{2}+\sqrt{39204}}{2}\\
k_1=\frac{140\sqrt{2}+198}{2}\\
k_1=70\sqrt{2}+99\implies k_2=70\sqrt{2}-99[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]k_1=\frac{140\sqrt{2}+\sqrt{39204}}{2}\\
k_1=\frac{140\sqrt{2}+198}{2}\\
k_1=70\sqrt{2}+99\implies k_2=70\sqrt{2}-99[/tex3]

Voltando para a incógnita do problema:
[tex3]\(\sqrt[3]{5\sqrt{2}+7}\)^x=70\sqrt{2}+99\\
\(\sqrt[3]{5\sqrt{2}+7}\)^x=\(5\sqrt{2}+7\)^2\\
\(5\sqrt{5}+7\)^\frac{x}{3}=\(5\sqrt{2}+7\)^2\\
\frac{x}{3}=2\\
\boxed{\boxed{x=6}}[/tex3]

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[tex3]\(\sqrt[3]{5\sqrt{2}+7}\)^x=70\sqrt{2}+99\\
\(\sqrt[3]{5\sqrt{2}+7}\)^x=\(5\sqrt{2}+7\)^2\\
\(5\sqrt{5}+7\)^\frac{x}{3}=\(5\sqrt{2}+7\)^2\\
\frac{x}{3}=2\\
\boxed{\boxed{x=6}}[/tex3]

Obs: Ainda não consigui justificar que [tex3]70\sqrt{2}-99[/tex3] não serve



Att>>rodBR

[petras]

rodBR,

Como você demonstra que:
[tex3]\(\sqrt[3]{5\sqrt{2}+7}\)^x=k\implies \(\sqrt[3]{5\sqrt{2}-7}\)^x=\frac{1}{k}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\(\sqrt[3]{5\sqrt{2}+7}\)^x=k\implies \(\sqrt[3]{5\sqrt{2}-7}\)^x=\frac{1}{k}[/tex3]

[rodBR]

Como você demonstra que:
[tex3]\(\sqrt[3]{5\sqrt{2}+7}\)^x=k \implies
\(\sqrt[3]{5\sqrt{2}-7}\)^x=\frac{1}{k}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\(\sqrt[3]{5\sqrt{2}+7}\)^x=k \implies
\(\sqrt[3]{5\sqrt{2}-7}\)^x=\frac{1}{k}[/tex3]

petras, basta racionalizar:
[tex3]\frac{1}{\sqrt[3]{5\sqrt{2}+7}}=\frac{1}{\sqrt[3]{5\sqrt{2}+7}}\cdot\frac{\sqrt[3]{5\sqrt{2}-7}}{\sqrt[3]{5\sqrt{2}-7}}=\frac{\sqrt[3]{5\sqrt{2}-7}}{\sqrt[3]{\(5\sqrt{2}+7\)\cdot\(5\sqrt{2}-7\)}}=\frac{\sqrt[3]{5\sqrt{2}-7}}{\sqrt[3]{1}}=\sqrt[3]{5\sqrt{2}-7}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{1}{\sqrt[3]{5\sqrt{2}+7}}=\frac{1}{\sqrt[3]{5\sqrt{2}+7}}\cdot\frac{\sqrt[3]{5\sqrt{2}-7}}{\sqrt[3]{5\sqrt{2}-7}}=\frac{\sqrt[3]{5\sqrt{2}-7}}{\sqrt[3]{\(5\sqrt{2}+7\)\cdot\(5\sqrt{2}-7\)}}=\frac{\sqrt[3]{5\sqrt{2}-7}}{\sqrt[3]{1}}=\sqrt[3]{5\sqrt{2}-7}[/tex3]

[guiaguiarsan]

Obrigado, rodBR, consegui compreender.