Ensino MédioÁlgebra pura Tópico resolvido

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regicide
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Jan 2019 14 18:29

Álgebra pura

Mensagem não lida por regicide »

Utilizando apenas manipulações algébricas, determine: Se [tex3]x-(1/x)=3[/tex3] , quanto vale [tex3] x^3+(1/x)^3[/tex3] ?

Última edição: regicide (Seg 14 Jan, 2019 18:30). Total de 1 vez.



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snooplammer
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Re: Álgebra pura

Mensagem não lida por snooplammer »

é [tex3]x-(1/x)=3[/tex3] ou [tex3]x+(1/x)=3[/tex3]




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regicide
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Jan 2019 14 18:38

Re: Álgebra pura

Mensagem não lida por regicide »

snooplammer escreveu:
Seg 14 Jan, 2019 18:34
é [tex3]x-(1/x)=3[/tex3] ou [tex3]x+(1/x)=3[/tex3]
[tex3]x-(1/x)=3[/tex3] mesmo.



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snooplammer
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Jan 2019 14 18:50

Re: Álgebra pura

Mensagem não lida por snooplammer »

Se o enunciado estiver correto, eu não vejo saída senão achas as raízes de [tex3]x-(1/x)=3[/tex3]
se fosse [tex3] x^3-(1/x)^3[/tex3] ai seria fácil achar também



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regicide
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Re: Álgebra pura

Mensagem não lida por regicide »

snooplammer escreveu:
Seg 14 Jan, 2019 18:50
Se o enunciado estiver correto, eu não vejo saída senão achas as raízes de [tex3]x-(1/x)=3[/tex3]
se fosse [tex3] x^3-(1/x)^3[/tex3] ai seria fácil achar também
Eu curso matemática, me propuseram esse desafio e eu também não consegui resolver sem recorrer à busca pelas raízes. Talvez, não tenha como mesmo.



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jomatlove
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Jan 2019 14 19:20

Re: Álgebra pura

Mensagem não lida por jomatlove »

Resolução
[tex3]x-\frac{1}{x}=3[/tex3]
[tex3](x-\frac{1}{x})^{2}=3^{2}[/tex3]
[tex3]x^{2}-2.\cancel x.\frac{1}{\cancel x}+\frac{1}{x^2}=9[/tex3]
[tex3]x^{2}-2+\frac{1}{x^2}=9\rightarrow x^2+\frac{1}{x^2}=11[/tex3] (1)
Somando 2 em cada membro de (1),e em seguida fatorando,temos:
[tex3]x^{2}+2+\frac{1}{x^2}=11+2[/tex3]
[tex3](x+\frac{1}{x})^{2}=13\rightarrow x+\frac{1}{x}=\pm \sqrt{13}[/tex3]
Agora,usamos a fatoração da soma de cubos:
[tex3]x^{3}+\frac{1}{x^3}=(x+\frac{1}{x})(x^2-x.\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2})=\pm \sqrt{13}(11-1)[/tex3]
[tex3]x^{3}+\frac{1}{x^3}=\pm 10\sqrt{13}[/tex3]

[tex3]\therefore \boxed{x^3+\frac{1}{x^3}=\pm 10\sqrt{13}}[/tex3]

:)



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