Ensino MédioGeometria Analítica - Triângulo

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Geometria Analítica - Triângulo

Mensagem não lida por Andre13000 »

Determine as coordenadas do ortocentro do triângulo determinado pelo encontro das seguintes retas:

[tex3]\begin{cases}
ax^2+2hxy+by^2=0\\
lx+my=1
\end{cases}[/tex3]
Resposta

[tex3]\frac{x}{l}=\frac{y}{m}=\frac{a+b}{am^2-2hlm+bl^2}[/tex3]



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Killin
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Re: Geometria Analítica - Triângulo

Mensagem não lida por Killin »

Como isso [tex3]ax^2+2hxy+by^2=0[/tex3] é uma reta?! Cadê a terceira pra formar um triângulo? :?::(



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Re: Geometria Analítica - Triângulo

Mensagem não lida por Andre13000 »

Temos [tex3]ax^2+2hxy+by^2=(y-m_1x)(y-m_2x)=0[/tex3]


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Re: Geometria Analítica - Triângulo

Mensagem não lida por Killin »

Nossa man, é muita conta

Resolvendo a equação do 2 grau em x, encontramos duas outras retas:

[tex3]s: \ \ x(a+h)-y\sqrt{h^2-ab}=0[/tex3]

[tex3]t: \ \ x(a+h)+y\sqrt{h^2-ab}=0[/tex3]

sendo [tex3]r: lx+my=1[/tex3] .

i) Agora tem que achar os pontos de intersecção de r e t, e r e s, já que s e t se intersectam em (0,0).

ii) Pegar os coeficientes angulares de v e u, perpendiculares, por exemplo a s e t e utilizar a segunda informação que v e u, passarão, por exemplo em A e B, ou A e C ou B e C dependendo de qual letra você escolher pra ser vértice em (i).

iii) Em posse das retas v e u é só fazer a intersecção delas e achar o ortocentro.

Acho que é isso aí kkkk
Última edição: Killin (Dom 13 Jan, 2019 17:14). Total de 1 vez.


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Re: Geometria Analítica - Triângulo

Mensagem não lida por Andre13000 »

A sua solução é muito parecida com a do livro. Vou mostrar a solução que elaborei alguns minutos atrás:

Sabemos que o ortocentro está na reta que é perpendicular a lx+my=1, e que essa reta passa pela origem. Então seja [tex3]H(x',y')[/tex3] . Temos:

[tex3]\frac{y'}{x'}=-\frac{1}{-\frac{l}{m}}\\
\frac{y'}{m}=\frac{x'}{l}[/tex3]

Quando você resolve o sistema de duas equações em x e y acha o seguinte:

[tex3]\(am^2-2mhl+bl^2\)x^2+2(hm-bl)x+b=0\\
\(am^2-2mhl+bl^2\)y^2+2(hl-am)y+a=0[/tex3]

Se o triângulo tem vértices (x1,y1);(x2,y2) então por produto escalar (+Girard):

[tex3](x'-x_2)x_1+(y'-y_2)y_1=0\\
x'x_2+y'y_2=x_1x_2+y_1y_2=\frac{a+b}{am^2-2mhl+bl^2}[/tex3]

Naquela relação lá encima:

[tex3]\frac{y'}{m}=\frac{x'}{l}=\frac{y'y_2+x'x_2}{my_2+lx_2}=y'y_2+x'x_2[/tex3]

Você pode achar o circuncentro facilmente por Euler.



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Movido de IME / ITA para Ensino Médio em Seg 14 Jan, 2019 12:36 por ALDRIN

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