Ensino Médio ⇒ Geometria - Áreas Tópico resolvido

[guiaguiarsan]

ABC é um triangulo escaleno, e G é seu baricentro. Sendo M e N médios de AB e AC, calcule a razão das áreas de AMGN e ABC

Resposta

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não tenho gabarito

[Killin]

Tudo que você precisa pra resolver está aqui: http://clubes.obmep.org.br/blog/problem ... triangulo/

[Killin]

Vou deixar aqui a demonstração da propriedade que as três medianas de um triângulo dividem o mesmo em 6 regiões equivalentes (de mesma área). A demonstração foi feita pelo site Clubes de Matemática da OBMEP

Na resolução deste problema usaremos dois resultados bem conhecidos.

(1) As três medianas de um triângulo qualquer se intersectam num mesmo ponto. Este ponto é dito baricentro do triângulo.

O resultado (1) justifica a figura a seguir em que apresentamos o triângulo ABC, sendo D, E, F e G os pontos médios dos lados e o baricentro deste triângulo, respectivamente.

Baricentro.png (45.58 KiB) Exibido 872 vezes

(2) Triângulos que apresentam bases congruentes e mesma altura possuem mesma área.

Usando o resultado (2) perceba que
(i) os triângulos AGD e BGD possuem mesma área, que indicaremos por S; pois possuem bases AD e DB congruentes e a mesma altura relativa a
essas bases (a distância de G à reta AB).
De modo análogo, verifique que
(ii) os triângulos BGE e CGE possuem mesma área, que indicaremos por X;
(iii) os triângulos CGF e AGF possuem mesma área, que indicaremos por Y;
(iv) os triângulos CAD e CBD possuem mesma área, e portanto temos, 2Y + S = 2X + S de onde se conclui que Y = X;
(v) os triângulos CAE e BAE possuem mesma área, e portanto temos, 2Y + X = 2S + X de onde se conclui que Y = S.

Temos portanto X = Y = S, o que nos leva a concluir que as medianas dividem o triângulo ABC em seis triângulos de mesma área S.

[Killin]

Em posse desse resultado, fica fácil de ver que a a área de AMGN do problema original será [tex3]2\cdot \left(\frac{S}{6}\right)=\frac{S}{3}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]2\cdot \left(\frac{S}{6}\right)=\frac{S}{3}[/tex3]

Logo a razão será: [tex3]\frac{\frac{S}{3}}{S}=\boxed{\frac{1}{3}}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{\frac{S}{3}}{S}=\boxed{\frac{1}{3}}[/tex3]

[guiaguiarsan]

Valeu killin, mas uma vez, você me salvando!