a) 3
b) 5
c) 6
d) 7
e) 8
Resposta
Não tenho gabarito
Ensino Médio ⇒ Congruência Tópico resolvido
Moderador: [ Moderadores TTB ]
Jan 2019
10
12:57
Congruência
Qual dos números abaixo divide [tex3]1^{2018} + 2^{2016} + 3^{2019} + 4^{2019}[/tex3]
?
a) 3
b) 5
c) 6
d) 7
e) 8
Não tenho gabarito
a) 3
b) 5
c) 6
d) 7
e) 8
Não tenho gabarito
Jan 2019
10
15:35
Re: Congruência
Vamos começar completando quadrados somando e subtraindo [tex3]15.2^{2016}[/tex3]
[tex3]E=1^{2018}+2^{2016}+3^{2019}+4^{2019}+15.2^{2016}-15.2^{2016}[/tex3]
[tex3]E=1^{2018}+16.2^{2016}+4^{2019}+3^{2019}-15.2^{2016}[/tex3]
[tex3]E=1^{2018}+2.2^{2019}+4^{2019}+3^{2019}-15.2^{2016}[/tex3]
[tex3]E=(1+2^{2019})^2+3^{2019}-15.2^{2016}[/tex3]
Vamos usar, agora, a seguinte fatoração: [tex3]\(1^{2019}+2^{2019}\)=(1+2)\(1^{2018}+1^{2017}.2+\cdot\cdot\cdot +2^{2017}.1+2^{2018}\)=3.Q[/tex3]
Onde Q é um número inteiro.
Daí,
[tex3]E=3.Q+3^{2019}-15.2^{2016}[/tex3]
[tex3]E=3\(Q+3^{2018}-5.2^{2016}\)[/tex3]
[tex3]E=3k;\quad k\in\mathbb{Z}[/tex3]
Portanto, a expressão do enunciado é múltipla de 3. Letra A
[tex3]E=1^{2018}+2^{2016}+3^{2019}+4^{2019}+15.2^{2016}-15.2^{2016}[/tex3]
[tex3]E=1^{2018}+16.2^{2016}+4^{2019}+3^{2019}-15.2^{2016}[/tex3]
[tex3]E=1^{2018}+2.2^{2019}+4^{2019}+3^{2019}-15.2^{2016}[/tex3]
[tex3]E=(1+2^{2019})^2+3^{2019}-15.2^{2016}[/tex3]
Vamos usar, agora, a seguinte fatoração: [tex3]\(1^{2019}+2^{2019}\)=(1+2)\(1^{2018}+1^{2017}.2+\cdot\cdot\cdot +2^{2017}.1+2^{2018}\)=3.Q[/tex3]
Onde Q é um número inteiro.
Daí,
[tex3]E=3.Q+3^{2019}-15.2^{2016}[/tex3]
[tex3]E=3\(Q+3^{2018}-5.2^{2016}\)[/tex3]
[tex3]E=3k;\quad k\in\mathbb{Z}[/tex3]
Portanto, a expressão do enunciado é múltipla de 3. Letra A
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