Ensino Médio ⇒ Equação trigonométrica Tópico resolvido

[Babi123]

Resolver: [tex3]\sqrt{sen^2\(\frac{x}{2}\)}-\sen\(\frac{x}{4}\)=0[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\sqrt{sen^2\(\frac{x}{2}\)}-\sen\(\frac{x}{4}\)=0[/tex3]

; dar como resposta a soma das soluções no intervalo [tex3][0;8\pi][/tex3]

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[tex3][0;8\pi][/tex3]

.

Resposta

---

[tex3]20\pi[/tex3]

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[tex3]20\pi[/tex3]

[MateusQqMD]

[tex3]\sqrt{sen^2\(\frac{x}{2}\)}-\sen\(\frac{x}{4}\)=0[/tex3]

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[tex3]\sqrt{sen^2\(\frac{x}{2}\)}-\sen\(\frac{x}{4}\)=0[/tex3]

[tex3]sen^2\(\frac{x}{2}\) = \sen^2\(\frac{x}{4}\)[/tex3]

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[tex3]sen^2\(\frac{x}{2}\) = \sen^2\(\frac{x}{4}\)[/tex3]

Usando que

[tex3]sen^2\left(\frac{x}{2}\right) = \frac{1 - cos(x)}{2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]sen^2\left(\frac{x}{2}\right) = \frac{1 - cos(x)}{2}[/tex3]

Temos,

[tex3]\frac{1 - cos\(x\)}{2} = \frac{1 - cos\(x/2\)}{2} [/tex3]

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[tex3]\frac{1 - cos\(x\)}{2} = \frac{1 - cos\(x/2\)}{2} [/tex3]

[tex3]- cos\(x\)= - cos\(x/2\) [/tex3]

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[tex3]- cos\(x\)= - cos\(x/2\) [/tex3]

[tex3]cos\(x/2\) - cos\(x\)= 0 [/tex3]

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[tex3]cos\(x/2\) - cos\(x\)= 0 [/tex3]

Sabendo que [tex3]cos(a) - cos(b) = -2\cdot sen \(\frac{a+b}{2}\) \cdot sen\(\frac{a-b}{2}\)[/tex3]

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[tex3]cos(a) - cos(b) = -2\cdot sen \(\frac{a+b}{2}\) \cdot sen\(\frac{a-b}{2}\)[/tex3]

, obtemos

[tex3]-2\cdot sen\(\frac{3x}{4}\) \cdot sen\(\frac{-x}{4}\) = 0 [/tex3]

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[tex3]-2\cdot sen\(\frac{3x}{4}\) \cdot sen\(\frac{-x}{4}\) = 0 [/tex3]

[tex3]2\cdot sen\(\frac{3x}{4}\) \cdot sen\(\frac{x}{4}\) = 0 [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]2\cdot sen\(\frac{3x}{4}\) \cdot sen\(\frac{x}{4}\) = 0 [/tex3]

[tex3]sen\(\frac{3x}{4}\) = 0\,\,\, \Rightarrow\,\,\, x = \frac{4\pi}{3} \cdot k,\,\,\, k \in \mathbb{Z} [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]sen\(\frac{3x}{4}\) = 0\,\,\, \Rightarrow\,\,\, x = \frac{4\pi}{3} \cdot k,\,\,\, k \in \mathbb{Z} [/tex3]

[tex3]sen\left(\frac{x}{4}\right) = 0\,\,\, \Rightarrow\,\,\, x = 4\pi \cdot k,\,\,\, k \in \mathbb{Z} [/tex3]

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[tex3]sen\left(\frac{x}{4}\right) = 0\,\,\, \Rightarrow\,\,\, x = 4\pi \cdot k,\,\,\, k \in \mathbb{Z} [/tex3]

[tex3]S=\left \{0, \frac{4\pi}{3}, \frac{8\pi}{3}, 4\pi, \frac{16\pi}{3}, \frac{20\pi}{3}, 8\pi \right \}[/tex3]

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[tex3]S=\left \{0, \frac{4\pi}{3}, \frac{8\pi}{3}, 4\pi, \frac{16\pi}{3}, \frac{20\pi}{3}, 8\pi \right \}[/tex3]

[tex3]\frac{4\pi}{3} + \frac{8\pi}{3} + 4\pi + \frac{16\pi}{3} + \frac{20\pi}{3} + 8\pi = 28\pi[/tex3]

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[tex3]\frac{4\pi}{3} + \frac{8\pi}{3} + 4\pi + \frac{16\pi}{3} + \frac{20\pi}{3} + 8\pi = 28\pi[/tex3]

[MateusQqMD]

[tex3]sen^2\(\frac{x}{2}\) = \sen^2\(\frac{x}{4}\)[/tex3]

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[tex3]sen^2\(\frac{x}{2}\) = \sen^2\(\frac{x}{4}\)[/tex3]

Dava para ter feito bem menos conta a partir desse passo (fatorando em diferença de quadrados, etc), mas eu achei melhor desenvolver dessa forma

[Babi123]

Só uma dúvida: Na equação [tex3]\sqrt{\sen^2\(\frac{x}{2}\)}[/tex3]

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[tex3]\sqrt{\sen^2\(\frac{x}{2}\)}[/tex3]

quando elevado ao quadrado o módulo é desnecessário?

[Auto Excluído (ID:12031)]

Só uma dúvida: Na equação [tex3]\sqrt{\sen^2\(\frac{x}{2}\)}[/tex3]

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[tex3]\sqrt{\sen^2\(\frac{x}{2}\)}[/tex3]

quando elevado ao quadrado o módulo é desnecessário?

Não, tem uma condição ai que [tex3]\sen (\frac x4) \geq 0[/tex3]

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[tex3]\sen (\frac x4) \geq 0[/tex3]

acho que faltou considerar ela

[MateusQqMD]

Só uma dúvida: Na equação [tex3]\sqrt{\sen^2\(\frac{x}{2}\)}[/tex3]

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[tex3]\sqrt{\sen^2\(\frac{x}{2}\)}[/tex3]

quando elevado ao quadrado o módulo é desnecessário?

Não, na verdade o módulo sempre é necessário para [tex3]\sqrt{x^2} [/tex3]

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[tex3]\sqrt{x^2} [/tex3]

, que resulta em [tex3]\sqrt{x^2} = |x|[/tex3]

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[tex3]\sqrt{x^2} = |x|[/tex3]

, eu que não fiz essa análise

[MateusQqMD]

Foi mal babi, é isso mesmo que o sousóeu disse, temos que analisar o [tex3]\sen \(\frac x4\)[/tex3]

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[tex3]\sen \(\frac x4\)[/tex3]