Ensino Médio ⇒ Geometria Ângulo Tópico resolvido

[Babi123]

Determinar o máximo valor da [tex3]tg\theta[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]tg\theta[/tex3]

na figura abaixo.

Screenshot_20190102-225945~2.png (13.14 KiB) Exibido 1127 vezes

a) [tex3]\frac{5}{3}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{5}{3}[/tex3]

b) [tex3]\frac{5}{13}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{5}{13}[/tex3]

c) [tex3]\frac{5}{12}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{5}{12}[/tex3]

d) [tex3]\frac{5}{7}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{5}{7}[/tex3]

e) [tex3]\frac{5}{9}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{5}{9}[/tex3]

[MateusQqMD]

É valor máximo mesmo? Encontrei o valor mínimo

Seja [tex3]\alpha [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\alpha [/tex3]

tal que [tex3]tg(\alpha) = \frac{2b}{3a}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]tg(\alpha) = \frac{2b}{3a}[/tex3]

e [tex3]tg(\alpha + \theta ) = \frac{3b}{2a}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]tg(\alpha + \theta ) = \frac{3b}{2a}[/tex3]

Usando que [tex3]tg(\alpha + \theta ) = \frac {tg(\alpha) + tg(\theta)}{1 - tg(\alpha)tg(\theta)}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]tg(\alpha + \theta ) = \frac {tg(\alpha) + tg(\theta)}{1 - tg(\alpha)tg(\theta)}[/tex3]

Ou seja,

[tex3]tg(\alpha + \theta ) = \frac {2b + 3a\cdot tg(\theta)}{3a - 2b \cdot tg(\theta)} = \frac{3b}{2a}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]tg(\alpha + \theta ) = \frac {2b + 3a\cdot tg(\theta)}{3a - 2b \cdot tg(\theta)} = \frac{3b}{2a}[/tex3]

[tex3]tg(\theta ) = \frac{5}{6}\cdot \frac{ab}{a^2 + b^2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]tg(\theta ) = \frac{5}{6}\cdot \frac{ab}{a^2 + b^2}[/tex3]

Pela desigualdade das médias,

[tex3]\frac{a^2 + b^2}{2} \geq \sqrt{a^2 b^2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{a^2 + b^2}{2} \geq \sqrt{a^2 b^2}[/tex3]

[tex3]\frac{1}{2} \geq \frac{ab}{a^2 + b^2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{1}{2} \geq \frac{ab}{a^2 + b^2}[/tex3]

Portanto, [tex3]tg(\theta ) \geq \frac{5}{12}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]tg(\theta ) \geq \frac{5}{12}[/tex3]

[erihh3]

É valor máximo mesmo? Encontrei o valor mínimo

Seja [tex3]\alpha [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\alpha [/tex3]

tal que [tex3]tg(\alpha) = \frac{2b}{3a}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]tg(\alpha) = \frac{2b}{3a}[/tex3]

e [tex3]tg(\alpha + \theta ) = \frac{3b}{2a}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]tg(\alpha + \theta ) = \frac{3b}{2a}[/tex3]

Usando que [tex3]tg(\alpha + \theta ) = \frac {tg(\alpha) + tg(\theta)}{1 - tg(\alpha)tg(\theta)}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]tg(\alpha + \theta ) = \frac {tg(\alpha) + tg(\theta)}{1 - tg(\alpha)tg(\theta)}[/tex3]

Ou seja,

[tex3]tg(\alpha + \theta ) = \frac {2b + 3a\cdot tg(\theta)}{3a - 2b \cdot tg(\theta)} = \frac{3b}{2a}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]tg(\alpha + \theta ) = \frac {2b + 3a\cdot tg(\theta)}{3a - 2b \cdot tg(\theta)} = \frac{3b}{2a}[/tex3]

[tex3]tg(\theta ) = \frac{5}{6}\cdot \frac{ab}{a^2 + b^2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]tg(\theta ) = \frac{5}{6}\cdot \frac{ab}{a^2 + b^2}[/tex3]

Pela desigualdade das médias,

[tex3]\frac{a^2 + b^2}{2} \geq \sqrt{a^2 b^2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{a^2 + b^2}{2} \geq \sqrt{a^2 b^2}[/tex3]

[tex3]\frac{1}{2} \geq \frac{ab}{a^2 + b^2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{1}{2} \geq \frac{ab}{a^2 + b^2}[/tex3]

Portanto, [tex3]tg(\theta ) \geq \frac{5}{12}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]tg(\theta ) \geq \frac{5}{12}[/tex3]

Essa sua ideia resolve a questão. Você encontrou o valor máximo.

Substitua a relação que você encontrou na inequação

[tex3]\frac{1}{2} \geq \frac{ab}{a^2 + b^2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{1}{2} \geq \frac{ab}{a^2 + b^2}[/tex3]

[tex3]\frac{1}{2} \geq \frac{6\tg(\theta)}{5}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{1}{2} \geq \frac{6\tg(\theta)}{5}[/tex3]

[tex3]tg(\theta ) \leq \frac{5}{12}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]tg(\theta ) \leq \frac{5}{12}[/tex3]

[tex3]tg(\theta )_{max}= \frac{5}{12}[/tex3]

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[tex3]tg(\theta )_{max}= \frac{5}{12}[/tex3]

[MateusQqMD]

Verdade, viajei muito ali

[jvmago]

SACANAGEM colocararem desigualdade das medias em uma questão de geometria

[erihh3]

SACANAGEM colocararem desigualdade das medias em uma questão de geometria

Daria pra fazer sem também.

[tex3]tg(\theta ) = \frac{5}{6}\cdot \frac{ab}{a^2 + b^2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]tg(\theta ) = \frac{5}{6}\cdot \frac{ab}{a^2 + b^2}[/tex3]

Seja [tex3]c=\frac{b}{a}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]c=\frac{b}{a}[/tex3]

[tex3]tg(\theta ) = \frac{5}{6}\cdot \frac{c}{1 + c^2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]tg(\theta ) = \frac{5}{6}\cdot \frac{c}{1 + c^2}[/tex3]

1 Solução:

Divida por c

[tex3]tg(\theta ) = \frac{5}{6}\cdot \frac{1}{\frac{1}{c} + c}[/tex3]

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[tex3]tg(\theta ) = \frac{5}{6}\cdot \frac{1}{\frac{1}{c} + c}[/tex3]

Daqui, [tex3]\frac{1}{c} + c[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{1}{c} + c[/tex3]

é conhecido e tem valor mínimo de 2 para [tex3]c\in\mathbb{R}[/tex3]

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[tex3]c\in\mathbb{R}[/tex3]

. Isso pode ser demonstrado com equação do segundo grau ou desigualdade das médias.

Daí, pelo valor mínimo dessa expressão, temos o máximo de tangente.

[tex3]tg(\theta ) = \frac{5}{12}[/tex3]

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[tex3]tg(\theta ) = \frac{5}{12}[/tex3]

2 Solução:

Seja [tex3]c=\tg\(\frac{y}{2}\)[/tex3]

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[tex3]c=\tg\(\frac{y}{2}\)[/tex3]

. Isso pode ser feito porque a imagem da função tangente são os próprios reais.

Daí,

[tex3]tg(\theta ) = \frac{5}{6}\cdot \frac{\tg\(\frac{y}{2}\)}{1 + \tg\(\frac{y}{2}\)^2}=\frac{5}{12}\cdot \frac{2\tg\(\frac{y}{2}\)}{1 + \tg\(\frac{y}{2}\)^2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]tg(\theta ) = \frac{5}{6}\cdot \frac{\tg\(\frac{y}{2}\)}{1 + \tg\(\frac{y}{2}\)^2}=\frac{5}{12}\cdot \frac{2\tg\(\frac{y}{2}\)}{1 + \tg\(\frac{y}{2}\)^2}[/tex3]

Isso é exatamente a parametrização do seno pela metade do arco da tangente.

[tex3]\frac{2\tg\(\frac{y}{2}\)}{1 + \tg\(\frac{y}{2}\)^2}=\sen y[/tex3]

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[tex3]\frac{2\tg\(\frac{y}{2}\)}{1 + \tg\(\frac{y}{2}\)^2}=\sen y[/tex3]

Obs: quem quiser pode tentar demonstrar isso acima e também que [tex3]\cos y=\frac{1 - \tg\(\frac{y}{2}\)^2}{1 + \tg\(\frac{y}{2}\)^2}[/tex3]

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[tex3]\cos y=\frac{1 - \tg\(\frac{y}{2}\)^2}{1 + \tg\(\frac{y}{2}\)^2}[/tex3]

.

Sabendo isso, temos:

[tex3]tg(\theta ) = \frac{5}{12}.\sen y[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]tg(\theta ) = \frac{5}{12}.\sen y[/tex3]

Como [tex3]-1\leq \sen y \leq 1[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]-1\leq \sen y \leq 1[/tex3]

, o valor máximo é [tex3]tg(\theta ) = \frac{5}{12}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]tg(\theta ) = \frac{5}{12}[/tex3]