Determinar o máximo valor da [tex3]tg\theta[/tex3]
b) [tex3]\frac{5}{13}[/tex3]
c) [tex3]\frac{5}{12}[/tex3]
d) [tex3]\frac{5}{7}[/tex3]
e) [tex3]\frac{5}{9}[/tex3]
na figura abaixo.
a) [tex3]\frac{5}{3}[/tex3]
Ensino Médio ⇒ Geometria Ângulo Tópico resolvido
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Jan 2019
03
19:41
Re: Geometria Ângulo
É valor máximo mesmo? Encontrei o valor mínimo
Seja [tex3]\alpha [/tex3] tal que [tex3]tg(\alpha) = \frac{2b}{3a}[/tex3] e [tex3]tg(\alpha + \theta ) = \frac{3b}{2a}[/tex3]
Usando que [tex3]tg(\alpha + \theta ) = \frac {tg(\alpha) + tg(\theta)}{1 - tg(\alpha)tg(\theta)}[/tex3]
Ou seja,
[tex3]tg(\alpha + \theta ) = \frac {2b + 3a\cdot tg(\theta)}{3a - 2b \cdot tg(\theta)} = \frac{3b}{2a}[/tex3]
[tex3]tg(\theta ) = \frac{5}{6}\cdot \frac{ab}{a^2 + b^2}[/tex3]
Pela desigualdade das médias,
[tex3]\frac{a^2 + b^2}{2} \geq \sqrt{a^2 b^2}[/tex3]
[tex3]\frac{1}{2} \geq \frac{ab}{a^2 + b^2}[/tex3]
Portanto, [tex3]tg(\theta ) \geq \frac{5}{12}[/tex3]
Seja [tex3]\alpha [/tex3] tal que [tex3]tg(\alpha) = \frac{2b}{3a}[/tex3] e [tex3]tg(\alpha + \theta ) = \frac{3b}{2a}[/tex3]
Usando que [tex3]tg(\alpha + \theta ) = \frac {tg(\alpha) + tg(\theta)}{1 - tg(\alpha)tg(\theta)}[/tex3]
Ou seja,
[tex3]tg(\alpha + \theta ) = \frac {2b + 3a\cdot tg(\theta)}{3a - 2b \cdot tg(\theta)} = \frac{3b}{2a}[/tex3]
[tex3]tg(\theta ) = \frac{5}{6}\cdot \frac{ab}{a^2 + b^2}[/tex3]
Pela desigualdade das médias,
[tex3]\frac{a^2 + b^2}{2} \geq \sqrt{a^2 b^2}[/tex3]
[tex3]\frac{1}{2} \geq \frac{ab}{a^2 + b^2}[/tex3]
Portanto, [tex3]tg(\theta ) \geq \frac{5}{12}[/tex3]
"Como sou pouco e sei pouco, faço o pouco que me cabe me dando por inteiro."
Jan 2019
03
20:44
Re: Geometria Ângulo
MateusQqMD escreveu: ↑Qui 03 Jan, 2019 19:41É valor máximo mesmo? Encontrei o valor mínimo
Seja [tex3]\alpha [/tex3] tal que [tex3]tg(\alpha) = \frac{2b}{3a}[/tex3] e [tex3]tg(\alpha + \theta ) = \frac{3b}{2a}[/tex3]
Usando que [tex3]tg(\alpha + \theta ) = \frac {tg(\alpha) + tg(\theta)}{1 - tg(\alpha)tg(\theta)}[/tex3]
Ou seja,
[tex3]tg(\alpha + \theta ) = \frac {2b + 3a\cdot tg(\theta)}{3a - 2b \cdot tg(\theta)} = \frac{3b}{2a}[/tex3]
[tex3]tg(\theta ) = \frac{5}{6}\cdot \frac{ab}{a^2 + b^2}[/tex3]
Pela desigualdade das médias,
[tex3]\frac{a^2 + b^2}{2} \geq \sqrt{a^2 b^2}[/tex3]
[tex3]\frac{1}{2} \geq \frac{ab}{a^2 + b^2}[/tex3]
Portanto, [tex3]tg(\theta ) \geq \frac{5}{12}[/tex3]
Essa sua ideia resolve a questão. Você encontrou o valor máximo.
Substitua a relação que você encontrou na inequação
[tex3]\frac{1}{2} \geq \frac{ab}{a^2 + b^2}[/tex3]
[tex3]\frac{1}{2} \geq \frac{6\tg(\theta)}{5}[/tex3]
[tex3]tg(\theta ) \leq \frac{5}{12}[/tex3]
[tex3]tg(\theta )_{max}= \frac{5}{12}[/tex3]
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Jan 2019
03
20:52
Re: Geometria Ângulo
Verdade, viajei muito ali
"Como sou pouco e sei pouco, faço o pouco que me cabe me dando por inteiro."
Jan 2019
03
21:48
Re: Geometria Ângulo
SACANAGEM colocararem desigualdade das medias em uma questão de geometria
Não importa se você é magrinho ou gordinho, alto ou baixo, o que te difere dos outros é quando expõe seus conhecimentos.
Jan 2019
03
22:14
Re: Geometria Ângulo
Daria pra fazer sem também.
[tex3]tg(\theta ) = \frac{5}{6}\cdot \frac{ab}{a^2 + b^2}[/tex3]
Seja [tex3]c=\frac{b}{a}[/tex3]
[tex3]tg(\theta ) = \frac{5}{6}\cdot \frac{c}{1 + c^2}[/tex3]
1 Solução:
Divida por c
[tex3]tg(\theta ) = \frac{5}{6}\cdot \frac{1}{\frac{1}{c} + c}[/tex3]
Daqui, [tex3]\frac{1}{c} + c[/tex3] é conhecido e tem valor mínimo de 2 para [tex3]c\in\mathbb{R}[/tex3] . Isso pode ser demonstrado com equação do segundo grau ou desigualdade das médias.
Daí, pelo valor mínimo dessa expressão, temos o máximo de tangente.
[tex3]tg(\theta ) = \frac{5}{12}[/tex3]
2 Solução:
Seja [tex3]c=\tg\(\frac{y}{2}\)[/tex3] . Isso pode ser feito porque a imagem da função tangente são os próprios reais.
Daí,
[tex3]tg(\theta ) = \frac{5}{6}\cdot \frac{\tg\(\frac{y}{2}\)}{1 + \tg\(\frac{y}{2}\)^2}=\frac{5}{12}\cdot \frac{2\tg\(\frac{y}{2}\)}{1 + \tg\(\frac{y}{2}\)^2}[/tex3]
Isso é exatamente a parametrização do seno pela metade do arco da tangente.
[tex3]\frac{2\tg\(\frac{y}{2}\)}{1 + \tg\(\frac{y}{2}\)^2}=\sen y[/tex3]
Obs: quem quiser pode tentar demonstrar isso acima e também que [tex3]\cos y=\frac{1 - \tg\(\frac{y}{2}\)^2}{1 + \tg\(\frac{y}{2}\)^2}[/tex3] .
Sabendo isso, temos:
[tex3]tg(\theta ) = \frac{5}{12}.\sen y[/tex3]
Como [tex3]-1\leq \sen y \leq 1[/tex3] , o valor máximo é [tex3]tg(\theta ) = \frac{5}{12}[/tex3]
Última edição: erihh3 (Qui 03 Jan, 2019 22:15). Total de 1 vez.
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